А.М. Белов Великая мистификация Ферма

© А.М. Белов, 2016 г. - ISBN 978-3-659-79304-2

          Предполагается, что примерно в 1637 году Пьер де Ферма пришел к выводу, что не может существовать трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n =3,4,5,6,7,… И тем самым фактически сформулировал самую знаменитую математическую гипотезу-головоломку, которую с учетом того, что сам Пьер де Ферма заявил о доказательстве им этой гипотезы, в последствии стали называть Великой теоремой Ферма.
         Для своих современников, а как в последствии оказалось, и для потомков, Ферма оставил краткое сообщение, в котором заявлял о том, что знает решение, но умалчивал о том, в чем именно оно состоит. Несомненно, Пьер де Ферма тем самым призывал математическое сообщество попробовать повторить его достижение, решить найденную им занятную математическую головоломку.
         В математике постоянно и в большом количестве ставятся различные проблемы, но уникальность проблемы Великой теоремы Ферма, заключается в том, что, несмотря на простоту ее формулировки и огромное количество предпринятых попыток решения, ответить на вызов Ферма за более чем три столетия так никто и не смог.
         Время, в которое Пьер де Ферма формулировал свои теоремы, было эпохой Возрождения, началом повторного открытия древнего знания. Математики перестали заниматься своей наукой в тайне друг от друга. Они перешли к широкому общению, обсуждению проблем в своей среде. Появилось соперничество. Математики начали, как бы состязаться друг с другом, как, например, в спорте. Но если спортсмены соревновались в преодолении дистанций, поднятии тяжестей, то математики соревновались в доказательстве математических утверждений. Поэтому нет ничего удивительного в том, что Ферма был заподозрен в умышленном сокрытии им подробностей доказательства своих теорем. Ведь ему было важно не только заявить о своих достижениях, но и предложить попробовать их повторить. Возможно, именно с этим связаны некоторые странности в формулировке теоремы.
         Великая теорема Ферма относится к так называемой чистой математике, ее доказательство не принесет никакой практической пользы.
         Для того чтобы заниматься чистой математикой обычно требуется специальная подготовка, квалификация, как минимум, хотя бы понимание языка математики. Заниматься спортом может практически любой человек, но для достижения выдающихся спортивных результатов необходимы длительные тренировки, необходимо в совершенстве овладеть техникой выполнения упражнения. Точно также происходит и в математике, применять математические методы могут многие, но добиться выдающихся результатов особенно в чистой математике обычно могут лишь прошедшие специальную подготовку.
         Однако уникальность Великой теоремы Ферма заключается также и в том, что уяснить саму проблему необычайно просто, она понятна любому школьнику. Это обстоятельство, а также объявление о премии за доказательство Великой теоремы Ферма побудило заняться решением загадки Ферма наряду с профессиональными математиками огромное количество любителей. И таких людей было столь много, что для них были введены даже специальные термины «ферматисты» или «ферматики» - люди, пытающиеся доказать теорему Ферма элементарными методами и зачастую не имеющие специального математического образования. Следствием этого явления стало рекордное количество неверных доказательств теоремы Ферма.
         Постепенно среди тех, кто пытался решить проблему Ферма, то есть доказать Великую теорему Ферма, используя лишь элементарные методы, остались одни ферматисты. Но предлагаемые ими доказательства, по понятным причинам, никто серьезно не рассматривал. В результате официально было признано верным доказательство, предложенное в 1994 году Эндрю Уайлзом. Необходимо заметить, что данное доказательство не было принято всеми. Существуют, свидетельствующие об ошибочности, опубликованные замечания по доказательству Эндрю Уайлза, на которые так и не последовали ответы. Но даже если предположить, что доказательство Эндрю Уайлза все же верно, то основано оно на современных математических методах не известных во время жизни Пьера де Ферма, так что если сам Ферма и владел доказательством, то заведомо не таким.
         Поэтому вопрос о наличии у Пьера де Ферма доказательства его знаменитого утверждения остался открытым. Не выяснено была ли его самая известная математическая головоломка умышленной мистификацией, розыгрышем?
         Эта книга не является научным трудом по математике, и в ней не приводятся математически строгие доказательства Великой теоремы Ферма. Даны лишь предлагавшиеся в разное время общие подходы к ее доказательству в объеме достаточном для их оценки, а также подробно рассмотрена история появления теоремы и приведен, по всей видимости, наиболее полный анализ ее формулировки. Таким образом, это в первую очередь историческое исследование одной математической проблемы, а также литературное произведение о математиках, их изысканиях и о коллективном сотворении ими феномена Великой теоремы Ферма. Конечно, писать о математиках и математических проблемах и совсем не использовать специфического математического языка просто не возможно. Но из текста книги были полностью удалены все математические выражения, требующие для их понимания, знаний выходящих за пределы школьного курса математики. И кроме этого часть чисто математического материала, носящего для текста этой книги вспомогательный, справочный характер вынесено в приложения, которые могут быть пропущены при чтении книги без существенного ущерба для ее восприятия.
         Впрочем, упоминать при описании одной из самых простых, совершенных и потому красивых теорем о математических понятиях, которые невозможно объяснить, как говорится, буквально на пальцах вряд ли было бы правильно.

         Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года, на юге Франции в небольшом гасконском городке Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne). Его отцом был зажиточный торговец, второй консул города Бомона Доминик Ферма. Должность, которую занимал отец Пьера, примерно соответствует современной должности помощник мэра. О чем свидетельствует, сохранившаяся метрическая запись от 20 августа 1601 года о крещении: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона». Мать Пьера, Клер де Лонг, происходила из семьи юристов. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери.
         Учитывая, что с момента рождения Пьера де Ферма прошло более четырех столетий не приходится рассчитывать узнать достоверные подробности процесса его творчества. Зато математические выражения практически с течением времени не изменяются и их исследование, в сочетании с фактами биографии ученого их сформулировавшего, может рассказать о очень многом, в том числе и о том, что было утрачено за давностью лет. Поэтому в данной книге были максимально подробно перечислены все известные факты биографии Ферма, включая даже те, которые не имели прямого отношения к его математическим исследованиям.
         Доминик Ферма дал своему сыну Пьеру очень солидное образование. В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание языков — латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках с таким изяществом, как если бы он жил во времена Августа и провел большую часть своей жизни при дворе Франции или Мадрида.
         Пьер Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков. Из древних писателей он комментировал Атенея, Полюнуса, Синезугa, Теона Смирнского и Фронтина, исправил текст Секста Эмпирика. Так что, он вполне мог бы составить себе имя в области греческой филологии. Но прославился он все же, как выдающийся математик. Хотя математика так и не стала его профессией.
         Это обстоятельство было связано, прежде всего, с тем, что ученые-математики его времени обычно не имели возможности посвятить себя целиком занятиям чистой математикой. В начале XVII века математика еще только оживала после мрачного Средневековья, и занятия этой наукой в глазах общества котировались не очень высоко. Соответственно, отношение к математикам было лишено должного уважения, и многим математикам приходилось своими силами добывать средства для занятий любимой наукой. На жизнь им приходилось зарабатывать в других сферах человеческой деятельности.
         К счастью Ферма обладал разносторонними способностями и мог с успехом заниматься не только математикой. В качестве своей профессии он выбирает юриспруденцию. Выбор юридического факультета в определенной степени закономерен, так как его дедушка был юристом, и вообще профессия юриста была весьма престижной. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу. В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе.
         О его юридической деятельности говорится в «похвальном слове», что он выполнял ее «с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени».
         Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы де; с этого времени он становится Пьером де Ферма.
         Успешная карьера Ферма была связана не только с его талантами и честолюбивыми устремлениями, но и с тем, что в то время в Европе свирепствовала чума, и те, кто выживал, поднимались по служебной лестнице, занимая места умерших. Ферма тоже заболел чумой, но ему посчастливилось выжить.

Пьер де Ферма (1601 - 1665) с 1631 г. советник Тулузского парламента
и знаменитый французский математик-любитель

         Таким образом, эпидемия чумы способствовала тому, что Ферма сравнительно быстро получил комфортные условия жизни. Вообще его жизнь была организована и проходила в условиях наибольшего благоприятствования раскрытию его математического таланта. Благоприятных событий за время жизни Пьера де Ферма, причем без каких либо видимых причин, случилось столь много, что в их случайность трудно поверить.
         В 1631 году Пьер Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны — Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым, доктором права и адвокатом. Именно им было опубликовано первое собрание сочинений Пьера де Ферма, вышедшее в 1679 году. К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце. Младший сын Клер также выбрал юридическое образование, средний, Жан, — духовную карьеру, а дочери приняли монашество.
         На службе Пьер де Ферма пользовался авторитетом очень честного человека, эрудированного юриста. Интересно, что высшим чиновникам парламента предлагалось избегать излишнего общения, чтобы не давать повода для сплетен и пересудов. Вот и получилось, что Ферма вел весьма замкнутый, уединенный образ жизни, приходил со службы и садился за письменный стол. Так он работал, на одном месте, 34 года. На службе — советник следственной палаты, юрист и знаток права, неподкупный, добросовестный и честный чиновник, дома за письменным столом — великий математик. Возможно, именно вынужденный такой образ жизни в определенной мере способствовал достижению им столь впечатляющих результатов в математике.
         Пьер де Ферма получил хорошее гуманитарное образование и не мог получить систематического математического образования. В его время единственное учебное заведение в Европе, где математиков активно поощряли, был Оксфордский университет, в котором Савильянскую кафедру геометрии учредили лишь в 1619 году. Живя вдали от Парижа, он был изолирован даже от того небольшого математического сообщества, которое тогда существовало во Франции. Поэтому у Ферма не могло быть наставника-учителя математики.
         Считается, что наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. Сочинения Диофанта (III в.) были изданы в XVI веке. Греческий текст «Арифметики» Диофанта с латинским переводом издал Клод Гаспар Баше де Мезириан в 1621 году. Один экземпляр этого перевода, опять же непонятно каким образом и почему, оказался у Пьера Ферма, и этот экземпляр, впоследствии ставший знаменитым, вызвал огромное количество толков и пересудов. Ведь никак невозможно объяснить, зачем юристу вдруг потребовалось потратить значительную сумму на приобретение такой книги. В XVII веке книги еще были редкостью и стоили очень дорого.
         Пьер де Ферма читал «Арифметику» Диофанта и на полях книги делал свои замечания. Хотя нельзя полностью достоверным считать, что Ферма, как математик сформировался только лишь под влиянием «Арифметики» Диофанта.
         Таким образом, по современным понятиям Пьер де Ферма, как математик был дилетантом, то есть любителем, занимающимся наукой без профессиональной специальной подготовки и поверхностно знакомый с предметом своих исследований [1]. Достоверно известно, что он действительно по математике не проходил профессиональной специальной подготовки, а вот в поверхностность его знаний о предмете исследований вряд ли можно поверить. Ведь его личный вклад в развитие математической науки впечатляет и в наше время.
         Одной из первых математических работ Пьера де Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония «О плоских местах». Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих, относящихся к 1629 году, работах о наибольших и наименьших величинах, — работах, открывших собою тот ряд исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности.
         Метод Пьера де Ферма нахождения наибольших и наименьших величин состоял в следующем.
         В выражение, переходящее в свое наибольшее или наименьшее значение, вместо неизвестного х вставляется сумма двух неизвестных х+е. Полученная через эту подстановку новая форма выражения приравнивается его первоначальной форме, чем и порождается взгляд на неизвестное е, как на величину крайне малую. В найденном, таким образом, уравнении опускаются содержащиеся в обеих его частях одинаковые члены, оставшиеся делятся на е и те из них, в которых е удержалось и после деления, опускаются совсем. В результате получается уравнение, доставляющее наибольшее или наименьшее значение неизвестного х.
         В конце двадцатых годов Пьер де Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. В 1636 году законченное изложение метода было передано Мерсенну (о личности этого человека будет сказано позже), и с ним могли познакомиться все желающие.
         В 1637—1638 годах по поводу «Метода отыскания максимумов и минимумов» у Ферма возникла бурная полемика с Декартом. Последний не понял метода и подверг его резкой и несправедливой критике. В одном из писем Декарт утверждал даже, что метод Ферма «содержит в себе паралогизм». В июне 1638 года Ферма послал Мерсенну для пересылки Декарту новое, более подробное изложение своего метода. Письмо его сдержанно, но не без внутренней иронии. Он пишет: «Таким образом, обнаруживается, что, либо я плохо объяснил, либо г. Декарт плохо понял мое латинское сочинение. Я все же пошлю ему то, что уже написал, и он, несомненно, найдет там вещи, которые помогут ему отказаться от мнения, будто я нашел этот метод случайно и его подлинные основания мне неизвестны». Пьер ни разу не изменяет своему спокойному тону. Он чувствует свое глубокое превосходство как математика, поэтому не входит в мелочную полемику, а терпеливо старается растолковать свой метод, как это сделал бы учитель ученику. Такое поведение совершенно не характерно для дилетанта – любителя.
         До Ферма, систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми «параболами» и любыми «гиперболами». Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.
         Пьер де Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, то есть вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей. Таким образом, понятие «площади» у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию «интеграл».
         Дальнейший успех методов определения «площадей», с одной стороны, и «методов касательных и экстремумов» — с другой, состоял в установлении взаимной связи этих методов. Есть указания на то, что Пьер де Ферма уже видел эту связь, знал, что «задачи на площади» и «задачи на касательные» являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие сколько-нибудь подробно. Поэтому честь его по праву приписывается Барроу, Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу, которым это открытие и позволило создать дифференциальное и интегральное исчисления.
         На протяжении более двух столетий принято было считать, что Исаак Ньютон открыл дифференциальное исчисление независимо от Ферма, не зная о его работах. Но в 1934 году Луис Треншар Мур обнаружил заметку, которая позволила внести в вопрос о приоритете полную ясность и воздать Ферма по заслугам. Ньютон писал, что, разрабатывая дифференциальное исчисление, он опирался на «метод построения касательных месье Ферма». С XVIII века дифференциальное исчисление использовалось для описания закона всемирного тяготения Ньютона и его законов механики, зависящих от расстояния, скорости и ускорения.
         Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера де Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений — так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.
         В письме к французскому математику Бернару Френиклю де Бесси от 18 октября 1640 года Пьер де Ферма высказал следующее утверждение: «Каждое простое число делит (в оригинале — «измеряет») одну из степеней любой прогрессии минус 1, для которой показатель степени является делителем данного простого числа минус 1; и после того, как была найдена первая степень, удовлетворяющая этому свойству, все числа, имеющие показатели степени, кратные показателю первой, удовлетворяют тому же свойству». В качестве примера Ферма приводит прогрессию 3, 9, 27, 81, 243, 729… и простое число 13. 13 делит 27 - 1 (показатель степени для 27 равен 3, а 3 делит 13 - 1), из чего следует, что 13 также делит 729 - 1 (показатель степени для 729 равен 6 и кратен 3). Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.
         Сам Ферма оставил свою теорему без доказательства. Первым математиком, нашедшим доказательство, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, из рукописей которого следует, что доказательство ему было известно до 1683 года. Лейбниц не знал о результате Ферма и открыл теорему независимо. Однако работа Лейбница не была опубликована, и доказательство в 1736 году обнародовал Эйлер в статье «Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio».
         Среди его заслуг по развитию теории чисел, конечно же, нельзя не упомянуть о знаменитой Великой теореме Ферма. Вообще среди полученных Ферма результатов встречаются различные теоремы — от фундаментальных, важных до чисто занимательных, неважных.
         Так, одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.
         Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Один арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения.
         Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары.
         А вот одна из самых изящных теорем Ферма — теорема о простых числах, несомненно, являлась важной. Простым называется число, которое не имеет делителей — чисел, которые делили бы его без остатка, — кроме единицы и самого числа. Например, 13 — простое число, а 14 — не простое. Ни одно число не делит 13 без остатка, а 2 и 7 делят 14. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n+1, и числа, представимые в виде 4n–1, где n — некоторое целое число. Так, число 13 принадлежит к первой группе (13 = 4·3 + 1), а число 19 — ко второй группе (19 = 4·5–1). Теорема Ферма о простых числах утверждает, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов (13 = 2² + 3²), в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы.
         Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Известно, что рождение нового раздела математики — теории вероятностей произошло в ходе переписки Ферма с Паскалем. Ферма и Паскаль заложили основы тех правил, которым подчиняются все азартные игры и которые могут быть использованы игроками, чтобы выработать идеальную стратегию игры и стратегию заключения пари. Кроме того, обнаруженные Ферма и Паскалем законы теории вероятностей нашли приложения в целом ряде областей человеческой деятельности — от спекулятивной игры на фондовой бирже до оценивания вероятности ядерной катастрофы.
         Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Он исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий принцип: «Природа всегда действует наиболее короткими путями», который можно считать предвосхищением принципа наименьшего действия Мопертюи — Эйлера.
         Где и когда Пьер де Ферма получил свои познания в области математики так и остается неизвестным. И вообще для возникновения Пьера де Ферма в качестве математика мирового уровня совсем не было никаких предпосылок. В этом качестве он как бы возник из ниоткуда, как говориться, совершенно неожиданно появился на пустом и ровном месте.
         Конечно, можно утверждать, что он от природы был одаренным человеком, очень талантливым. Однако, как хорошо известно, для того чтобы талант полностью раскрылся необходимо приложить немало усилий для его развития и в первую очередь необходимо серьезное обучение талантливого человека, необходимо обеспечить такого человека знаниями, полученными его предшественниками. В противном случае можно рассчитывать лишь на разовые открытия, как правило, связанные с решением какой либо конкретной практической задачи. В возможность случайного открытия целого ряда научных направлений как-то не верится. Да и случайные догадки ведь возможны при решении одношаговых задач, то есть при решении задач, в которых совершается действие и сразу достигается конечный результат, а на доказательство теорем Ферма у большого количества весьма талантливых математиков ушло от нескольких десятков до даже сотен лет. Столь долго и тяжело одношаговые теоремы не доказываются.
         Еще в этой связи необходимо отметить, что в истории не раз наблюдалось, как талантливые, но не подготовленные люди самостоятельно заново открывали уже известные знания, но в случае Ферма такого не наблюдалось. Более того, сам Ферма признавал, что обладал достаточно полными знаниями о математических достижениях своих предшественников. Так в одном из последних его писем к Каркави имеются следующие строки: «Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: «Многие будут приходить и уходить, а наука обогащается».
         Кроме этого сверх способный и неожиданный математик Пьер де Ферма появляется (рождается) и, по сути, проживает всю свою жизнь в очень правильном, как говориться, нужном месте. Казалось бы, лучшим местом для раскрытия математических талантов Ферма был бы Париж, в котором во время его жизни находились почти все видные математики Франции того времени. Но это только на первый взгляд, так как его семья вряд ли смогла бы обеспечить ему возможность занятия в Париже таких же должностей, которые он смог занять в провинции. Ему вряд ли удалось обеспечить в Париже свое быстрое продвижение по служебной лестнице, а это означало бы отсутствие комфортных условий для занятий математикой.
         Но даже если бы ему удалось пробиться в Париже, то все его силы ушли бы на обеспечение выживания в условиях постоянных заговоров и интриг. Ведь во Франции XVII век был временем небезызвестного политического интригана кардинала Ришелье, который втягивал буквально всех так или иначе вовлеченных в управление государством людей в свои опасные политические игры. Так что у Ферма в Париже не было бы шансов на спокойное занятие математикой.
         Кроме того, что Пьер де Ферма родился и прожил всю свою жизнь в нужном месте, он ее еще и прожил в нужное время. Действительно, живи дилетант Ферма, в современное время вряд ли он мог бы рассчитывать на внимательное отношение со стороны математического сообщества к своим идеям. Если бы он обнародовал новые теоремы, да еще и без предъявления их доказательств, то в лучшем случае на него и его высказывания никто не обратил внимания, и они дожидались бы того времени, пока заново не будут открыты профессиональными математиками, но уже без упоминания имени Пьера де Ферма, а в худшем его посчитали бы сумасшедшим. Действительно, воплотись он сейчас в теле, какого ни будь современного юриста, и попытайся предъявить доказательство своей знаменитой теоремы, и он тут же прослыл бы не заслуживающим внимания ферматистом. Ведь современные ученые сосредоточены каждый на своем узком направлении исследований, и они очень не любят тратить время на что-то еще. И уж тем более постараются избежать общения с дилетантом.
         В XVII веке, хотя и по несколько иным причинам, математики тоже были замкнуты и обычно вели свои исследования в тайне не только от всего остального общества, но даже и друг от друга.
         Замкнутость математиков была традицией, сохранившейся от косситов XVI века. Косситы были знатоками всевозможных вычислений. Купцы и деловые люди прибегали к их услугам для решения сложных задач, возникающих в связи с учетом товаров. Все, кто в ту пору профессионально занимался решением задач, изобретали свои собственные хитроумные методы выполнения вычислений и держали их в тайне, чтобы сохранить свою репутацию единственных в своем роде людей, способных решать задачи того или иного типа.
         Но тут, как впрочем, и все в жизни Пьера де Ферма, очень своевременно возникает фигура отца Марена Мерсенна.
         Отец Марен Мерсенн внес небольшой вклад в теорию чисел, и, тем не менее, в истории математики XVII века он сыграл очень важную роль. После вступления в 1611 году в орден минимов Мерсенн изучал математику, а затем преподавал этот предмет другим монахам и монахиням в монастыре ордена в Невере. Восемью годами позже Мерсенн переезжает в Париж и присоединяется к ордену Миним дель'Анносиад, неподалеку от Пале Ройяль - места, где, обычно, собирались интеллектуалы. Мерсенн встречался с парижскими математиками, но их нежелание обсуждать научные проблемы с ним и между собой опечалило его.
         По прибытии в Париж отец Мерсенн вознамерился покончить с обычаем математиков проводить исследования в тайне от своих коллег и стал всячески способствовать обмену идей между математиками и поощрять использование результатов одного математика в работе другого. Отец Мерсенн добился того, что математики начали регулярно проводить встречи. Позднее его группа стала тем ядром, вокруг которого сформировалась Французская академия. Если все приглашенные на заседание отвечали отказом, то Мерсенн все же старался собрать какую-то группу, сообщая математикам содержание писем и работ, присланных ему конфиденциально.
         Мерсенн много путешествовал по Франции и далеко за ее пределами, повсюду распространяя вести о последних математических открытиях. В своих странствиях он, в частности, встречался с Пьером де Ферма и смог оказать на него заметное влияние. Даже когда от поездок пришлось отказаться, Мерсенн продолжал поддерживать отношения с Ферма и другими математиками, направляя им огромное количество писем.
         Таким образом, именно благодаря деятельности отца Марена Мерсенна у Ферма, как бы сейчас сказали, появилась инфраструктура для широкого распространения его идей. Необходимо отметить, что такое, благоприятное для распространения в математике идей дилетантов время длилось по историческим меркам совсем не долго, и Ферма работал именно в этот, наиболее благоприятный для него промежуток времени.
         Однако по современным представлениям никакого распространения математических идей Ферма не должно было бы произойти. Ведь согласно самому распространенному мнению Пьер де Ферма занимался математикой исключительно ради собственного удовольствия и не пытался удовлетворять свое тщеславие по этому вопросу. При этом, естественно, что о его математических занятиях вообще никто и никогда ничего узнать просто не должен был бы. Но факты его биографии, почему-то, свидетельствуют как раз об обратном.
         Напряженная работа в суде, которую Пьеру де Ферма пришлось выполнять, действительно не позволила ему создать подробное собрание своих сочинений. Известно, что такой фундаментальный труд он неоднократно пытался написать. Поэтому сам Пьер де Ферма успел напечатать только два свои произведения: геометрическую диссертацию «De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione» (Тулуза, 1660), вместе с приложением к ней и анонимную статью без заглавия, вошедшую в качестве «первой части второго прибавления» в состав книги иезуита Лалувера: «Veterum Greometria promota in septem de Cycloide libris, et in duabus adjectis Appendicibus» (Тулуза, 1660).
         Из переписки Пьера де Ферма при его жизни в печать проникли, кроме нескольких отрывков, письмо к Гассенди, помешенное в VI томе «Собрания сочинений» последнего (Лион, 1658), и девять писем, напечатанных английским математиком Валлисом в его издании «Commtrcium epistolicum de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper habitum inter nobilissimos Viros etc.» (Оксфорд, 1658). Этих работ для Ферма оказалось, однако же, вполне достаточным для единогласного его признания современниками одним из выдающихся математиков.
         Но все же наибольшую информацию о математических работах Ферма давала обширная переписка, которую он вел с другими учеными, преимущественно с Мерсеннем, Робервалем, Паскалями: Этьенном и Блезом, Декартом, Френиклем, Каркави, Пьером Гассенди, Сенье, Булльо, Дигби, Клерселье, Лалувером и Гюйгенсом.
         В XVII веке, когда еще не было специальных научных журналов, переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы. Письма Ферма посылал либо непосредственно корреспонденту, либо в Париж Мерсенну, который размножал их и пересылал математикам, занимавшимся аналогичными вопросами. Но письма ведь почти никогда не бывают только короткими математическими мемуарами. В них проскальзывают живые чувства авторов, которые помогают воссоздать их образы, узнать об их характере и темпераменте.
         Именно письма позволяют установить, что Ферма занимался мистификациями [1] в математике, то есть намеренным разыгрыванием своих современников – математиков.
         Так, несмотря на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Ферма упорно отказывался публиковать свои доказательства. Ферма получал удовлетворение от сознания того, что он может создавать новые теоремы, которые не всегда были доступны для понимания его современников - математиков и поддразнивал своих коллег, направляя им письма с формулировками последних теорем, он неизменно умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим современникам вызов, испытывая их способность найти недостающее доказательство.
         Таким образом, выходит, что Пьер де Ферма занимался математикой не только ради собственного удовольствия и целенаправленно ставил в известность современников о своих достижениях (возможно, надеялся, что, и потомки о них тоже узнают) и тщеславие вовсе не было ему чуждо.
         То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств, вызывало у его коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт называл Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его «проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать своих коллег из Англии. Самый известный случай проверки сообразительности английских математиков был связан с некоторыми свойствами числа 26.
         Ферма заметил, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых представляет собой квадрат (25 = 5²), а другое — куб (27 = 3³). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между квадратом и кубом, но найти ничего так и не удалось. Родилось подозрение, что число 26 единственное. После многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное доказательство, не оставлявшее сомнений в том, что 26 — действительно единственное число, заключенное между квадратом и кубом. Предложенная им цепочка логических доводов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не обладает этим свойством.
         Ферма сообщил об уникальном свойстве числа 26 математическому сообществу и бросил вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, чтобы справиться с предложенной задачей? Несмотря на простоту формулировки, решение задачи (доказательство утверждения) оказалось чрезвычайно трудным — можно сказать, недружественным по отношению к тем, кто пытался найти его, и Ферма доставляло особое удовольствие подтрунивать над английскими математиками Валлисом и Дигби, которые, в конце концов, были вынуждены признать свое поражение.
         Необходимо обратить внимание на то, что Ферма разыгрывая своих современников – математиков никогда их не пытался обманывать, намеренно вводить в заблуждение, создавать у них лишь иллюзию правильности своих рассуждений. И единственный случай, в котором его можно заподозрить в намеренном введении в заблуждение, связан с его знаменитой Великой теоремой. Причем непонятно почему именно с этой теоремой он, возможно, отступил от своих правил? Ведь при жизни он рассматривал ее всего лишь в качестве случайной задачи-головоломки, не предназначавшейся для публичного обсуждения. Или он осознавал, что время для этой задачи еще не пришло? Но догадывался, что спустя годы после его смерти именно эта случайная математическая задача-головоломка, не имеющая никакого практического значения, станет величайшим его вызовом, брошенным им всему остальному миру? И он решил максимально осложнить задачу?
         Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но через десять лет в 1675 году его прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в церкви августинцев в Тулузе.
         Великая теорема Ферма – самая сложная математическая проблема из оставленных им потомкам проблем не умерла вместе с ним, а напротив мистическим образом медленно, но верно становилась все более известной, захватывала все большее количество умов во всем мире. Хотя сформулирована она была всего лишь в виде короткой заметки на полях «Арифметики» Диофанта и должна бы была просто со временем затеряться.
         Но к счастью, старший сын Ферма, Клемент-Самюель взял на себя тяжкий труд подготовить к опубликованию отцовские заметки и в 1670 году он издал в Тулузе книгу под названием: «Varia opera mathematica D. Petri de Fermat, Senatoris tolosani. Accesserunt selectae quaedam ejusdem Epistolae, vel ad ipsum a plerisque doctissimis viris Gallice, Latine, vel Italice, de rebus ad Mathematicis disciplinas aut Physicam pertinentibus scriptae» («Диофантова Арифметика, содержащая примечания П. де Ферма»). В нее наряду с оригинальным текстом на древнегреческом языке и латинским переводом Клода Гаспара Баше де Мезириана вошли 48 примечаний, сделанных Ферма. В том числе и знаменитое примечание: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки», оставленное Ферма на полях рядом с задачей Диофанта о представлении данного квадрата в виде суммы двух рациональных квадратов. Таким образом, Великая теорема Ферма была впервые опубликована.
         Считается, что Клемент-Самюель сознавал важность математических достижений своего отца и поэтому сам решил издать их. Встречаются даже утверждения о том, что при этом он якобы умышленно мистифицировал Великую теорему Ферма.
         Однако Клемент-Самюель не отличался значительными способностями к математике, ни в каком качестве не принимал участия при жизни Ферма в его математических исследованиях и вряд ли мог иметь представление о действительной важности математического наследия своего отца и уж тем более просто не имел возможности хоть что-то мистифицировать в математике. Именно по этим причинам, скорее всего, он даже не попытался, как-то обобщить и дополнить, обработать оставшиеся от отца материалы, а опубликовал их в том виде, в котором они были оставлены Ферма.
         При этом гуманитарий Клемент-Самюель скрупулезно перепечатал математические заметки отца и не потрудился оставить о нем воспоминаний. Такое его поведение выглядит довольно странно.
         С другой стороны, не для себя же Пьер де Ферма несколько позже формулировки своей теоремы дописал вторую часть своего знаменитого комментария: «Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки»? Эта часть комментария явно адресована другим математикам, но при этом размещена на полях книги, предназначенной исключительно для личного пользования. Откуда Ферма мог знать, что его заметки после его смерти будут изданы и станут общедоступны?
         Но если предположить, что Пьер де Ферма заранее договорился со своим сыном об издании им его математических записей, то все эти события можно объяснить.
         Как все происходило на самом деле, мы уже никогда не узнаем, но в любом случае самую грандиозную мистификацию в математике все же подготовил сам Пьер де Ферма, а запустил ее его сын Клемент-Самюель.
         В 1861 г. в Берлине появилась, сделанная Фридлендером, перепечатка издания, подготовленного Самюелем.
         В 1896 году в Париже было издано в трех томах более полное и совершенное собрание сочинений Пьера де Ферма, под заглавием «Oeuvres de Fermat, publiees par les soins de P. Tannery et Ch. Henry».

         Обычно в современной литературе процесс открытия Великой теоремы Ферма описывается следующим образом.
         Пьер де Ферма изучал математику при помощи «Арифметики» Диофанта пока примерно в 1637 году при чтении второй книги «Арифметики» не наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Его поразило разнообразие и обилие пифагорейских треугольников, и он решил попытаться развить эту замечательную теорему Пифагора.
         Получается, вот так вот, просто в ходе, по существу обучения математике, была сформулирована самая известная математическая головоломка. И никто в течение нескольких тысячелетий, что была известна теорема Пифагора, до ничего подобного не додумался. Однако не следует слепо доверять всему, что пишут в книгах. Достоверно о процессе создания Великой теоремы Ферма ведь ничего не известно. Поэтому вся эта история является лишь догадкой, красивой легендой. В действительности по ряду причин, скорее, всего события развивались немного иначе.
         Когда говорят о Великой теореме Ферма, то часто утверждают, что она якобы, наряду с другими ее особенностями, является самой известной математической теоремой. Однако это не так. Потому, что самой известной теоремой все же является теорема Пифагора, которая сформулирована следующим образом: «В любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах», что эквивалентно уравнению: x² + y² = z², в котором х и у – длины катетов прямоугольного треугольника, а z – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. При этом пифагоровыми тройками называют комбинации из трех целых чисел х, у и z, являющихся решениями уравнения: x² + y² = z². Еще Евклид доказал, что число пифагоровых троек бесконечно велико.
         Большинство жителей Земли заставляют заучивать теорему Пифагора еще в школе, и она известна миллиардам людей. А вот о Великой теореме Ферма все же знает значительно меньшее число людей.
         Теорема Пифагора носит его имя, несмотря на то, что китайцы и вавилоняне использовали ее на тысячу лет раньше. Это обстоятельство объясняют тем, что китайцы и вавилоняне якобы не знали, как показать, что используемое ими правило справедливо для любого прямоугольного треугольника, а Пифагор первым это доказал, то есть в современном понимании доказал теорему.
         Однако достоверно не известно располагали или нет китайцы и вавилоняне доказательством этой теоремы. Но все может измениться, ведь никто не знает, что откапают археологи через десять или сто лет?
         Так Бенджамин и Эрик Альтшулеры из США в 2016 году опубликовали на сайте arXiv.org информацию о том, что вавилоняне (шумеры и аккадцы) на тысячу лет раньше индийцев и греков доказали иррациональность числа, равного квадратному корню из двух.
         Доказательство этого факта считается одним из крупных достижений математики Древней Греции, приписывается пифагорейцам и датируется 570-495 годами до нашей эры. Индийские математики могли на 150-200 лет раньше греков доказать иррациональность квадратных корней из 2 и 21.
         Но исследование Альтшулеров показало, что жрецы Вавилона уже в 1800-1600 годах до нашей эры, то есть более чем на тысячу лет раньше греков и индийцев владели методами, позволяющими доказать иррациональность квадратного корня из двух. К своим выводам авторы пришли, рассмотрев две глиняные таблички, отображающие приближенный расчет квадратного корня из двух.
         Первая табличка позволяла получить при помощи расчета диагонали квадрата значение квадратного корня из двух с точностью до шестого знака после запятой. Вторая отображала геометрический способ проверки иррациональности квадратного корня из двух, а также содержит один из геометрических способов доказательства теоремы Пифагора.
         Таким образом, уже сделанные исторические открытия позволяют уверенно утверждать, что Пифагор в лучшем случае являлся лишь популяризатором теоремы, носящей его имя, а в худшем случае, по современным представлениям, был плагиатором или, проще говоря, вором. Кроме этого открытие иррациональных чисел является важнейшим шагом для формулирования и понимания Великой теоремы Ферма, как в общем случае, так и в ее частных случаях.
         В любом случае с доказательством или без доказательства, но древние китайцы и вавилоняне должны были полагать, что эта теорема справедлива для любого прямоугольного треугольника, в противном случае они просто не смогли бы ее использовать. А вот понятия теоремы тогда еще не существовало и если что-то тем или иным образом устанавливалось, то в дальнейшем передавалось в качестве абсолютного знания без каких либо объяснений и тем более доказательств. Таким образом, установленные знания распространялись как бы в виде правил или можно еще сказать в виде современных аксиом. Уж такая тогда была методика проведения научных исследований. И эта методика практически исключает возможность установления наличия в древности доказательств тех или иных утверждений. Конечно, можно рассуждать о примитивности исследований древних, но, например, использование современных аксиом тоже ведь не так уж безупречно.
         Аксиома или постулат — исходное положение, утверждение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других ее положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
         В Приложении 1 приведен ряд примеров современных аксиом арифметики.
         На формирование системы современных аксиом потребовалось очень много времени, и они считаются важнейшим достижением математики. Но можно ли их считать действительно надежными? Для ответа на этот вопрос попытаемся найти пример, когда какая либо аксиома не выполняется в пределах объявленной ее области применения.
         Нетрудно догадаться для каких чисел, прежде всего, следует проверять аксиомы на наличие в них изъянов. Конечно, для иррациональных чисел.
         Иррациональное число – это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби m/n, где m – целое число, n – натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Так иррациональными числами являются: √n для любого натурального n, не являющегося точным квадратом; е^х для любого рационального х неравного нулю; ln x для любого положительного рационального х неравного единице; число пи и т. п.
         Всякий раз, когда подобные числа при вычислениях будут использоваться в виде непериодических десятичных дробей, будут получаться лишь приближенные результаты. Например, √2·√2 = 1,414213562373095048801688724209 · 1,414213562373095048801688724209 = 1,999999999999999999999999999998, но ведь хорошо известно, что рассматриваемое выражение точно, а не приблизительно равно двум. А тут фактически выходит, что классические дважды два могут быть и не равны четырем? Однако если рассматриваемое выражение допускает проведение сокращений, а оно допускает проведение сокращений, то его можно представить в следующем виде: √2·√2 = √2·2 = √4 = 2. И катастрофа отменяется, но она обязательно случится, если иррациональные числа будут подставляться в выражения, не допускающие проведение сокращений. Поэтому в Приложении 1 выберем аксиому, использующую математическое выражение, не допускающее сокращений. И такая аксиома есть это распределительный закон, который гласит, что для любых чисел m, n и k m· (n + k) = m·n + m·k.
         Действительно левую часть: «m·(n + k)» этого математического выражения невозможно сократить без приведения ее к виду: «m·n + m·k». Это означает, что в общем виде не удастся показать справедливость этого утверждения для любых чисел.
         Остается только проверить эту аксиому на конкретных числовых примерах, для чего примем, например, m = √2, n = √2 и k = √3 и подставим эти иррациональные числа в выражение m· (n + k) = m·n + m·k.

√2· (√2 + √3) = √2·√2 + √2·√3

         Теперь произведем вычисления значений левой и правой частей получившегося выражения:
         √2·(√2+√3)=1,414213562373095048801688724209· (1,414213562373095048801688724209 + 1,732050807568877293527446341505) = 1,414213562373095048801688724209 · 3,146264369941972342329135065714 = 4,449489742783178098197284074701
         √2·√2+√2·√3=√4+√2·3=2+√6 =2 + 2,449489742783178098197284074705 = 4,449489742783178098197284074705

         Да, все вычисления необходимо осуществлять с помощью самого простого и примитивного калькулятора. Использовать компьютерные программы нельзя, так как они обычно имеют встроенные алгоритмы по корректировке и округлению результатов вычислений. Причем разработчики программного обеспечения в настоящее время об этом даже не удосуживаются пользователей поставить в известность. Поэтому неудивительно, что при малых расхождениях в результатах вычислений можно прийти к неправильным выводам. А в рассматриваемом примере расхождение между полученными результатами вычисления действительно составляет очень малую величину, всего - 0,000000000000000000000000000004. Очевидно, что по мере увеличения количества учитываемых десятичных знаков величина разницы в получаемых результатах вычислений будет становиться все меньше, но самым важным является, то, что разница в получаемых результатах совсем не исчезнет никогда. А ведь, если бы левая и правая части выражения m· (n + k)= m·n + m·k действительно были бы равны друг другу, то должны были бы получаться абсолютно одинаковые результаты даже при приближенных вычислениях.
         Таким образом, распределительный закон, по крайней мере, для иррациональных чисел не выполняется. И совсем не важно, что отклонение в результатах вычислений представляет собой бесконечно малую величину, так как аксиома должна выполняться на все сто процентов, а не на 99,9999999999999… процентов. Потому что в этих вопросах не бывает почти и примерно.
         Приведенный контр пример заставляет сомневаться в справедливости утверждения о том, что математическое доказательство является абсолютным. Любое математическое доказательство будет вообще существовать до тех пор, пока не будут вызывать сомнения аксиомы, на которых оно было основано. А вероятность того, что при формулировании той или иной аксиомы была допущена ошибка, существует всегда. Какой бы очевидной не казалась аксиома.
         А может от аксиом можно отказаться? Оказывается нельзя. Дело в том, что любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать, то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные, то есть в виде аксиом.
         Таким образом, получается, что любая теорема основывается на утверждениях, которые лишь предполагаются истинными или истинность которых в настоящее время самоочевидна. Более того, в настоящее время аксиомы не считаются непреложными и неизменными: они в процессе исторического развития знания подлежат проверке, уточнению на опыте и обоснованию. И эта проблема принципиально неустранима в рамках существующей методики математических исследований.
         Кроме этого используемая в настоящее время методика математических исследований практически существовала всегда, принципиально она ни чем не отличается от того, что делали в очень глубокой древности. За тысячи лет по существу удалось лишь уточнить состав аксиом, правила их использования и развить при этом понятие доказательства. Все это вообще-то называется упорядочиванием и формализацией знаний с пополнением их новыми частными разделами математической науки. Поэтому нет никаких оснований, утверждать, что теорему Пифагора открыл именно Пифагор, если знания о ней, пусть и изложенные в отличной форме, существовали до него. И нет никаких оснований, пренебрегать знаниями древних.В связи с этим возникает вопрос, а не была ли известна в том или ином виде, так называемая Великая теорема Ферма до рождения Пьера де Ферма? И действительно, в литературе упоминается персидский математик и астроном аль-Ходжанди (полное имя - Абу Махмуд Хамид ибн аль-Хизр аль-Ходжанди), уроженец Ходжента (Таджикистан), работавший в Рее (Иран), который приблизительно за 600 лет до рождения Пьера де Ферма, в десятом веке попытался доказать, что сумма двух кубических чисел не может быть кубическим числом, то есть частный случай Великой теоремы Ферма [14].
         Причем не упоминается, что аль-Ходжанди сформулировал эту гипотезу, а говориться лишь о попытке доказательства уже готового утверждения. Таким образом, получается, что гипотеза была сформулирована еще раньше. Но когда, кем и в каком виде, только ли для случая показателя степени равного трем или для более общего случая пока остается неизвестным.
         Однако все же сохраняется надежда, что в этот вопрос будет внесена ясность по мере дальнейшего развития истории науки. Так, например, специалист в археоастрономии Мэтью Оссендриджвер из Берлинского университета имени Гумбольдта 29 января 2016 года опубликовал в журнале Science результаты расшифровки клинописи на четырех сохранившихся древневавилонских глиняных табличках, созданных между 350 и 50 годами до нашей эры. Таблички содержат расчет положения Юпитера на небосводе. Необходимо отметить, что эта тема была особенно интересной для вавилонских ученых, так как Юпитер отождествлялся с божеством - покровителем Вавилона - Мардуком. Мардука называли судьей богов и владыкой богов, а также верили, что он обладает способностью воскрешать мертвых.
         Но хаотичное движение Юпитера, положение которого постоянно меняется в зависимости от его собственной орбиты и орбиты Земли, должно было немало озадачивать древних астрономов. Объяснение этого явления требовало продвинутого математического аппарата. И древние вавилоняне использовали вполне современные техники для вычисления положения Юпитера.
         Вавилоняне разработали абстрактные математические и геометрические идеи о связи между движением, положением тела в пространстве и временем — эти идеи продолжают жить в современной математике и физике. Построение кривой для соотнесения скорости и расстояния со временем начинают прослеживаться в работах ученых из Оксфорда и Парижа приблизительно с 1350 года. Уже позже на основании этих работ Исаак Ньютон разработал интегральное исчисление. Также отмечается, что некоторые работы Пьера де Ферма способствовали созданию дифференциального и интегрального исчисления, и Исаак Ньютон опирался, в том числе и на работы Ферма.
         Однако оказалось, что этот метод был известен, как минимум, на полтары тысячи лет раньше в древнем Вавилоне. Более того, имеются основания полагать, что вавилонская математика была перенята другими народами, и в Средние века математикам не пришлось изобретать все заново.
         Таким образом, получается, что уровень развития математики в глубокой древности был сильно недооценен. Наблюдается постепенный перенос в более раннее время сроков открытия различных законов и методов математики. Пересматривается и сделанный европейцами в Средние века вклад в развитие математики. Поэтому есть все основания предполагать, что и Великая теорема Ферма появилась вовсе не на пустом месте и, по крайней мере, в качестве гипотезы она была сформулирована задолго до Пьера де Ферма.
         Но как быть с утверждениями, что уравнение Великой теоремы Ферма: xⁿ + yⁿ = zⁿ, в котором n = 3, 4, 5, 6, 7, … вытекает из уравнения: x² + y² = z² теоремы Пифагора? Более того, ведь утверждается, что Великая теорема Ферма была сформулирована из-за по существу случайной замены показателя степени 2 на показатель степени 3 с одновременной попыткой найти для нового уравнения аналоги пифагоровых троек.
         Действительно подобные рассуждения чисто внешне выглядят очень даже логичными. Однако уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ и уравнение x² + y² = z² похожи друг на друга только внешне и больше ничего общего не имеют. Дело в том, что уравнение теоремы Пифагора и сами пифагоровы тройки, в отличие от уравнения Великой теоремы Ферма очень геометрично, имеет очень глубокую связь с геометрией вообще и с геометрией нашего пространства в частности. Эта связь наглядно показана на приведенном ниже рисунке.
         Теорема Пифагора в отличие от Великой теоремы Ферма выражает конкретную взаимосвязь между математикой и природой, в частности устанавливает соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, то есть отношение вертикали к горизонтали, а, в конечном счете, отношение между тремя измерениями нашего мира. В данном случае математика через прямой угол определяет саму структуру нашего пространства. Несомненно, теорема Пифагора имеет фундаментальное значение для геометрии и носит ярко выраженный прикладной характер.

         Видимо, именно с этим связано очень большое количество различных вариантов доказательства теоремы Пифагора, которых существует около четырехсот. И в подавляющем их числе использованы понятия геометрии. Пример наиболее простого такого доказательства приведен в Приложении 2.
         По этому показателю Великая теорема Ферма оказалась похожа на теорему Пифагора, она также является рекордсменом по количеству предложенных доказательств, но вот только в отличие от теоремы Пифагора они все неверные.
         Утверждается, что одним из толчков к нахождению целочисленных решений уравнения Великой теоремы Ферма послужили пифагоровы тройки. Однако если решения уравнения Великой теоремы Ферма являются абсолютными, то решения уравнения теоремы Пифагора из-за ее сильной связи с геометрией относительны. Вид решений уравнения теоремы Пифагора зависит от выбранной системы единиц для измерения длин сторон прямоугольного треугольника. Например, для уравнения x² + y² = z², если длины сторон прямоугольного треугольника измеряются в миллиметрах: х = 3 мм, у = 4 мм, z = 5 мм при подстановке значений в уравнение получаем 3² + 4² = 5² 9 + 16 = 25, а если длины сторон прямоугольного треугольника измеряются в сантиметрах: х = 0,3 см, у = 0,4 см, z = 0,5 см при подстановке значений в уравнение получаем 0,3² + 0,4² = 0,5² 0,09 + 0,16 = 0,25.
         Разумеется, в обоих случаях теорема Пифагора остается справедливой, но в зависимости от выбора системы единиц – миллиметры или сантиметры для одного и того же прямоугольного треугольника изменяется вид решений уравнения x² + y² = z² от целых чисел до десятичных дробей.
         Подобные превращения для Великой теоремы Ферма просто невозможны.
         Поэтому является достаточно очевидным, что Великая теорема Ферма никак не может вытекать из теоремы Пифагора. И весьма дотошный Пьер де Ферма вряд ли мог этого не понять и не заметить.
         Кроме этого известно, что Пьер де Ферма сначала на полях «Арифметики» Диофанта оставил только формулировку своей знаменитой теоремы и лишь позже ее дополнил сообщением о наличии у него доказательства теоремы. Это свидетельствует о том, что на момент формулирования своей теоремы он еще не располагал ее доказательством. А тогда на основании, каких соображений он ее сформулировал? Получается, он просто угадал, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в числах определенного вида?
         Однако это противоречие легко устраняется, если предположить, что свои познания в математике он получал не только в «Арифметике» Диофанта, но и из других источников. И в этих источниках в том или ином виде уже была сформулирована так называемая Великая теорема Ферма. При таком развитии событий речь может идти о том, что Пьер де Ферма первоначально лишь хотел дополнить текст «Арифметики» Диофанта ставшим ему известным из других источников математическим уравнением.
         Но тогда получается, что Пьер де Ферма вовсе не является автором своей Великой теоремы. Как говорится, в лучшем случае он тогда является лишь изобретателем очередного усовершенствованного велосипеда.
         Да и то претендовать на существенную доработку этой теоремы он может лишь в том случае, если до него существовали формулировки только частных случаев теоремы и или если он действительно располагал первым правильным доказательством теоремы.
         С другой стороны, изложенные выше факты, являются общеизвестными и, тем не менее, авторство Пьера де Ферма считается общепризнанным. Однако в этом обстоятельстве нет ничего необычного. Подобное очень часто случается в ходе развития самых разных наук. Дело в том, что общество просто привыкло считать, что изобретателем или первооткрывателем может считаться только тот, кто имеет безусловный приоритет. Понятие же приоритета стало использоваться совсем недавно и преподносилось в качестве абсолютно установленного факта первенства сделанного того или иного открытия. Но достоверно факт первенства установить даже для новых открытий пока невозможно. Не существует системы способной анализировать всю информацию, обнародованную на любых носителях и любых языках в абсолютно всех странах мира. Кроме этого с течением времени информация часто полностью или частично утрачивается. Поэтому обычно первооткрывателем признается тот, кто первым опубликовал информацию на распространенном языке в наиболее часто используемом и авторитетном издании. И даже если позже ошибка обнаруживается, то, как правило, что-то пересматривать уже бывает поздно и поэтому не принято – информация оказывается, слишком широко распространена в научной и учебной литературе. Вот в двадцать первом веке историки установили, что Пифагор вовсе не первый доказал теорему Пифагора, но практически изменить ее название уже ведь не возможно.
         Примеров таких повторно сделанных открытий даже в двадцатом веке существует огромное количество. Причем часто такие открытия действительно совершались совершенно независимо. Одним из самых известных примеров является изобретение радио. Существует достаточно большое количество изобретателей радио, и в разных странах признаются изобретателями радио различные люди.
         Поэтому, если уж во время компьютерной обработки информации не удается в полном объеме контролировать ее поток, то в математике Средневековья в вопросах приоритета могло происходить вообще все что угодно.
         Как происходил процесс открытия Великой теоремы Ферма, независимо он ее открыл или опирался на труды предшественников, достоверно установить вряд ли уже будет возможно. Но ни у кого нет сомнений в том, что столь широкую известность эта математическая головоломка приобрела благодаря усилиям, прежде всего, Пьера де Ферма.
         Сам он сформулировал свою теорему на полях «Арифметики» Диофанта напротив задачи о представлении данного квадрата в виде суммы двух рациональных квадратов в следующем виде: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем».
         В дальнейшем формулировка Ферма была приведена к современному виду: «Для любого натурального числа n > 2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z».
         Также можно встретить несколько иной вариант этой формулировки: «Для любого натурального числа n > 2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в натуральных числах x, y, z».
         Варианты отличаются тем, что в качестве решений уравнения предлагается использовать целые числа или только натуральные числа.
         Натуральные числа или естественные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…., расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.
         Множество целых чисел: …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … - расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к множеству натуральных чисел нуля и отрицательных чисел.
         При анализе множеств целых и натуральных чисел становится очевидным, что если существует решение уравнения Великой теоремы Ферма для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. Так, пусть x, y, z – целые числа, дающие решения уравнения Великой теоремы Ферма. Если n четно, то |x|, |y|, |z| тоже будут решением, а если нечетно, то для получения натуральных решений достаточно перенести все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Поэтому обе рассматриваемые современные формулировки эквивалентны.
         Правда, существует одна маленькая деталь, которая ставит под сомнение вывод об эквивалентности этих двух современных формулировок теоремы.
         Как известно дьявол прячется именно в мелких деталях. И далее можно будет наблюдать, как, казалось бы, совсем несущественные детали могут привести к отличным, от принятых, выводам при рассмотрении математических утверждений.
         Дело в том, что существует два подхода к определению натуральных чисел. В первом подходе натуральные числа это числа, возникающие при подсчете или нумерации предметов: первый, второй, третий и так далее. Во втором подходе натуральные числа это числа, возникающие при обозначении количества предметов: нет предметов, один предмет, два предмета, три предмета и так далее.
         В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля [17]. Не существует единого для всех математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода или, если сказать иначе – математики до сих пор не договорились, считать ли ноль натуральным числом или нет.
         Если ноль считать натуральным числом, то становится очевидным, что второй вариант современной формулировки Великой теоремы Ферма является неверным. Но видимо второй вариант современной формулировки Великой теоремы Ферма составляли приверженцы первого подхода определения натуральных чисел.
         Еще необходимо обратить внимание на то, что даже если не только все математики, но и все жители Земли единогласно согласятся с тем, что ноль не является натуральным числом, эта проблема никуда не исчезнет. Так как подобное решение никогда не станет объективным. Ведь никому же в голову не приходит решать путем голосования чему равно дважды два? А в подобной заведомо неразрешимой ситуации просто необходимо в любом случае оговорить использование нуля.
         При этом обе современные формулировки Великой теоремы Ферма уже совсем не эквивалентны формулировке оставленной Пьером де Ферма. Так как формулировка Ферма в отличие от современной формулировки не определяет, какие числа используются в уравнении xⁿ + yⁿ = zⁿ. Тут необходимо отметить, что этот вопрос не так очевиден, как может показаться на первый взгляд.
         Так, поскольку Ферма не указывает прямо, какие числа должны использоваться в качестве решений уравнения его теоремы, то в качестве решений может рассматриваться и ноль. И тогда возникает описанный выше связанный с нулем казус. И вообще в представленном Ферма виде теорема становится неверной.
         Правда, игнорирование нуля в формулировке Ферма можно объяснить тем, что долгое время ноль рассматривался исключительно как математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Так в Европе даже в семнадцатом веке, то есть во время жизни Ферма, ноль все еще преимущественно считался условным символом и не признавался числом.
         Другое отличие формулировки Ферма и современной формулировки теоремы состоит в том, что Ферма в качестве показателя степени n предложил использовать любое число большее двух, а современная формулировка предусматривает рассмотрение лишь натуральных чисел больших двух. Непонятно зачем это было сделано?
         Что изменится, если будет использован, например, показатель степени n = 2,5? Оказывается, ничего. Великая теорема Ферма останется неизменной. Это хорошо видно из следующего примера:
         Например, возьмем 4^2,5 и, применяя элементарные правила совершения действий со степенями, преобразуем его:

         4^2,5 = 4^2+0,5 = 4² · 4^0,5 = ((4^0,5)²)² · 4^0,5 = (4^0,5)⁴ · (4^0,5)¹ = (4^0,5)⁴⁺¹ = (4^0,5)⁵ = 2⁵

         В этом выражении все конкретные числа могут быть заменены переменными и, тогда станет очевидным, что приведенные преобразования справедливы для любых чисел. То есть в качестве показателя степени n может использоваться любое вещественное число: 2,000001; 2,712; 4,9; 17,34; 79842,05712 и тому подобные. При этом любой показатель степени, выраженный через вещественное число большее двух, может быть преобразован в показатель степени в виде натурального числа также большего двух. А это уже фактически показывает справедливость Великой теоремы Ферма, как для показателей степени n в виде натуральных чисел, так и в виде вещественных чисел.
         Тут необходимо отметить, что рассмотренные преобразования также показывают, что для целей доказательства Великой теоремы Ферма достаточно рассмотреть лишь случай с показателем степени n в виде натурального числа, так как полученное доказательство для натуральных чисел можно автоматически распространить и на вещественные числа.
         Конечно, при таком преобразовании изменяется не только показатель степени, но и число, возводимое в степень. И существует вероятность того, что изначально натуральное число, возводимое в степень, преобразуется в вещественное число. Однако это обстоятельство также не повлияет на справедливость теоремы. Что будет показано далее.
         Таким образом, можно утверждать, что теорема, заданная современной формулировкой по значению показателя степени n является частным случаем для Великой теоремы Ферма в ее изначальной формулировке.
         Кроме этого необходимо отметить, что рассмотренная здесь неточность в современной формулировке Великой теоремы Ферма не является последней. Еще одна неточность связана с тем, что современная формулировка теоремы утверждает об отсутствии решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ только в целых ненулевых числах x, y, z и (или) в натуральных числах x, y, z. Интересно, что сам Пьер де Ферма в своей формулировке этот вопрос формально не поясняет. Однако уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений не только в натуральных и целых числах, но не имеет решений и в вещественных числах, в частности в рациональных числах (конечных дробях) [3]. Так как, если имеются решения в конечных целых числах, то обязательно будут существовать решения и в конечных дробях и наоборот.
         Действительно, в соответствии с распределительным законом всегда решения для уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ можно представить в виде выражений: x = k·d; y = k·f; z = k·g; где k – коэффициент, d, f, g – конечные числа являющиеся решениями Великой теоремы Ферма.
         Теперь, если имеются целые конечные числа d, f, g, которые являются решениями уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ, то можно всегда подобрать коэффициент k в виде дроби такой, что при умножении его на числа d, f, g будут получены конечные дроби x,y,z, которые также будут являться решениями этого уравнения. Эту же процедуру можно выполнить в обратном порядке, и перейти от конечных дробей к конечным целым числам, являющимся решениями уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ.
         Поясним эти утверждения на конкретном примере.
         Возьмем числа: d = 12, f = 35, g = 37, которые являются решениями уравнения: x² + y² = z² в конечных целых числах, умножим их на коэффициент k = 0,1, и получим дроби x = 1,2, y = 3,5, z = 3,7, которые будут являться решениями данного уравнения в конечных дробях.
         Теперь возьмем числа: d = 1,2, f = 3,5, g = 3,7, которые являются решениями уравнения: x² + y² = z² в конечных дробях, умножим их на коэффициент k = 20, и получим конечные целые числа x = 24, y = 70, z = 74, которые будут являться решениями данного уравнения в конечных целых числах.
         Очевидно, что подобным образом можно преобразовать любые конечные числа, являющиеся решениями уравнения из Великой теоремы Ферма в бесконечную последовательность решений уравнения из Великой теоремы Ферма в конечных целых числах или дробях. Но это можно сделать только в том случае, если существуют решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ из Великой теоремы Ферма в конечных целых числах или дробях. Так как подобных решений до сих пор обнаружено не было, то для числового примера было взято уравнение с показателем степени n = 2. Для такого уравнения конечные целочисленные решения известны. Это давно известные, так называемые, пифагоровы тройки. Тут необходимо отметить, что если бы были известны целочисленные решения для показателя степени n большего 2, то принципиально характер рассмотренных преобразований не изменился бы.
         Из приведенных рассуждений также следует, что теорема, заданная современной формулировкой по виду решений x, y, z уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ является частным случаем для Великой теоремы Ферма в ее изначальной формулировке. Ведь Пьер де Ферма в своей формулировке формально не определил вид решений x, y, z, а поэтому можно лишь предполагать, что он под ними подразумевал.
         Также необходимо отметить, что поскольку Пьер де Ферма записал формулировку своей теоремы на полях «Арифметики» Диофанта напротив задачи о представлении данного квадрата в виде суммы двух рациональных квадратов, то, скорее всего, он рассматривал в качестве решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ не любые числа, а только целые числа и дроби. Поскольку множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Ведь любое целое число легко представляется в виде рационального числа путем деления целого числа на единицу.
         Хотя, конечно, невозможно формально подтвердить, что в качестве несуществующих решений для своей теоремы Пьер де Ферма рассматривал только рациональные числа. Но все равно неясно, на каких основаниях в дальнейшем отказались от более широкой формулировки Ферма и в качестве несуществующих решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ предложили использовать только целые числа. Тем более что в таком виде Великая теорема Ферма все равно является неверной в связи с тем, что существуют решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых и или натуральных числах [4]. Правда, для того чтобы стать такими решениями эти числа должны быть бесконечными.
         Для нахождения таких решений необходимо известные решения, включающие обязательно как минимум одно иррациональное число, преобразовать в целые бесконечные числа. Это достигается путем умножения каждого члена уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ на одно и то же число. При этом согласно распределительному закону равенство останется верным.
         Очевидно, что для по членного умножения уравнения нужно подобрать такое число при умножении, на которое любой десятичной дроби, в том числе и бесконечной в результате получалось бы целое число. Здесь рассматривается десятичная дробь в связи с тем, что практически любое число, в том числе простые дроби и иррациональные числа представляются в виде десятичных конечных или бесконечных дробей.
         Поскольку любая десятичная дробь может быть представлена в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой есть целая степень числа 10, то в качестве искомого числа можно использовать число 10 возведенное в бесконечно большую степень или, иначе говоря, бесконечное произведение числа 10. Число 10 необходимо возводить именно в бесконечно большую степень в связи с тем, что бесконечная десятичная дробь заменяется обыкновенной дробью, знаменатель которой есть число 10 возведенное в бесконечно большую степень.
         Для составления выражений являющихся целочисленными решениями Великой теоремы Ферма преобразуем уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, то есть, выразим z через x и y:

         и запишем следующие формулы для вычисления целочисленных решений Великой теоремы Ферма:

         или эти же формулы можно записать иначе:

         где а и b - практически любые действительные числа.
         Анализ этих формул очень быстро приведет к выводу, что Великая теорема Ферма имеет бесконечно большое количество решений среди бесконечных целых чисел.
         Далее приведен ряд конкретных примеров значений x, y, z, являющихся целочисленными решениями уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ, которые были получены за счет применения выше приведенных формул. Существование лишь одного подобного примера опровергает Великую теорему Ферма, как для ее современной формулировки, так и для формулировки Пьера де Ферма.
         Для n = 5:

         Для n = 8:

         Записать, приведенные выше числа в обычном виде не представляется возможным, не хватит никакой бумаги и никаких чернил и на компьютере обработать их так же невозможно, их даже записать в компьютер не удастся, так как никакой памяти не хватит.
          Поэтому для того, что бы получить хоть какое то представление о том, как эти числа выглядят в обычном виде, ниже приведены записи фрагментов этих чисел с начальной их части.
         Для n=5: x=300000000…; y=400000000…; z=417402766…
         Для n=8: x=100000000…; y=500000000…; z=500000159…
         Казалось бы, было бы разумно ограничить используемые числа некоей их предельной величиной или длинной (общим предельным количеством используемых при записи чисел цифр). И не рассматривать необозримых монстров. Почему так нельзя поступить очень хорошо показывает гипотеза о завышенной оценке распределения простых чисел.
         Продвигаясь по ряду натуральных чисел можно заметить, что найти среди них простые числа становится все труднее. Например, между 0 и 100 расположены 25 простых чисел, тогда как между 10 000 000 и 10 000 100 — только 2 простых числа. В 1791 году Карл Гаусс сформулировал приближенный закон, по которому уменьшается частота появления простых чисел. Формула Гаусса давала неплохую точность, но всегда слегка завышала истинное распределение простых чисел. Проверка на числах до триллиона показала, что гипотеза Гаусса продолжает завышать частоту появления простых чисел. И тогда посчитали, что так будет и для всех чисел до бесконечности. Так родилась гипотеза о завышенной оценке распределения простых чисел.
         В 1914 году Дж. И. Литлвуд, сотрудник Г.Г. Харди по Кембриджскому университету доказал, что для очень больших чисел формула Гаусса даст заниженную оценку распределения простых чисел. А в 1955 году С. Скьюз показал, что недооценка количества простых чисел может наступить прежде, чем будет достигнуто число

         Это число невозможно даже представить, и никаких практических приложений оно не имеет. Харди назвал число Скьюза «самым большим числом, которое когда-либо служило какой-нибудь цели в математике». Но никто не доказал, что при решении различных задач не потребуется использовать еще большие числа, в том числе и бесконечные числа. То есть для адекватного решения отдельных задач необходимо предусматривать использование бесконечных чисел (чисел состоящих из бесконечного количества цифр).
         Как известно и для решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ не была установлена предельная величина или длина чисел, то есть решения этого уравнения следует искать среди сколь угодно больших чисел, а в пределе и среди бесконечных чисел. Формально запрет на такие решения никогда не обосновывался и не устанавливался.
         При помощи ниже приведенных формул можно пронаблюдать сходимость к точному решению приведенных решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ при постепенном приближении произведения числа 10 к бесконечному произведению.

         где [ ] - знак, обозначающий целую часть числа, то есть от результата вычисления выражения, заключенного в скобки [ ] необходимо отбросить дробную часть числа, а с оставшейся целой частью продолжать вычисления, k – изменяется от нуля до бесконечно большого числа, n – показатель степени в уравнении xⁿ + yⁿ = zⁿ, а и b - практически любые действительные числа, которые являются соответственно решениями x и y уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ.
         При k равном бесконечно большому числу F1 будет точно равно F2, а при всех меньших значениях k F1 будет равно F2 лишь приближенно. Причем чем больше будет k, тем меньше будут отличаться F1 и F2, что демонстрирует приведенный ниже пример для случая a=2, b=3, n=3.

k=0 F1=35 F2=27 отклонение F1 от F2 22,8571… %
k=1 F1=35000 F2=32768 отклонение F1 от F2 6,3771… %
k=2 F1=35000000 F2=34965783 отклонение F1 от F2 0,0977… %
k=3 F1=35000000000 F2=34997871511 отклонение F1 от F2 0,00608… %
……………………………………………………………………………
k=∞ F1=3500000000000… F2=3500000000000… отклонение F1 от F2 0 %

         Если n>2, то при помощи рассматриваемых формул можно получить одно единственное решение уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых числах для каждого значения показателя степени n и чисел a и b, а вот если n = 2 и a и b соответствуют какому либо решению уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых числах, то при изменении показателя степени k возведения числа десять от нуля до бесконечно большого числа можно получить бесконечный ряд целочисленных решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ. Так, известно, что числа 3; 4; 5 являются решениями уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ при n = 2. Подстановка в рассматриваемые формулы a = 3 b = 4 при изменении показателя степени k числа десять от нуля до бесконечно большого числа позволяет получить следующий бесконечный ряд целочисленных решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ:

k=0 x=3 y=4 z=5
k=1 x=30 y=40 z=50
k=2 x=300 y=400 z=500
k=3 x=3000 y=4000 z=5000
k=4 x=30000 y=40000 z=50000
k=5 x=300000 y=400000 z=500000
……………………………………………

         Пример бесконечного ряда решений для случая, когда n = 2 наглядно показывает существование решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых бесконечных числах.
         Необходимо отметить, что представление конкретных решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ фактически только в виде формул не является чем-то необычным. Так и только так точно представляются некоторые дроби или иррациональные числа, которые иначе могут быть записаны лишь в виде фрагментов бесконечных десятичных дробей. Например:

         1/3 = 0,333333333333… или √2 = 1,414213562373095048801688724209…

         Для записи решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых бесконечных числах используется бесконечное числовое произведение, которое рассматривается как произведение бесконечного числа сомножителей u₁, u₂, u₃,…u_i,…, то есть выражение вида:

и определяется как предел частичных произведений u₁, u₂, u₃,…u_i при i стремящимся к бесконечности [5]. Обычно при использовании бесконечных произведений сомножители u₁, u₂, u₃,…u_i,… не равны друг другу и изменяются по величине в зависимости от порядкового номера по тому или иному закону. Кроме этого для практических целей обычно рассматриваются сомножители представленные в виде дробей.
         Однако в данном случае все сомножители равны одному числу – 10 и само такое бесконечное числовое произведение стремится к бесконечному целому числу, то есть фактически представляет собой возведение числа 10 в бесконечно большую степень.
         В силу невозможности, каким либо образом, использовать бесконечные целые числа в практических целях подобные результаты бесконечных числовых произведений не рассматривались. В связи с этим могут возникать сомнения в справедливости проведения таких вычислений.
         Но бесконечные целые числа можно задать и иначе. Их можно задать словесной формулировкой. Например, путем бесконечной записи числа за счет добавления к нему одной и той же цифры или группы цифр или бесконечной записи в число, последовательно вычисляемых цифр какого ни будь иррационального числа.
         Например, число, формируемое за счет бесконечного добавления нуля, будет выглядеть следующим образом: 100000000000000000…, а за счет бесконечной записи в число, последовательно вычисляемых цифр иррационального числа √2 будет выглядеть следующим образом: 1414213562373095048801688724209…
         При этом не трудно заметить, что получаются идентичные результаты при использовании словесных формулировок для задания бесконечных целых чисел и при использовании бесконечных числовых произведений. И кроме этого задание чисел словесной формулировкой практически исключает все возможности спекуляций по поводу существования целых бесконечных чисел. Ведь именно так формируется, например, бесконечный ряд натуральных чисел и не существует никаких ограничений по общему количеству цифр, которые можно записать в число.
         Выдающийся немецкий математик создатель теории бесконечных множеств и теории трансфинитных чисел Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (3 марта 1845 – 6 января 1918), по всей видимости, первым отметил, что реальные бесконечные целые числа относятся к так называемой актуальной бесконечности и образуют бесконечный ряд подобных чисел, которые отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам. Более того, исследование абсолютно бесконечного ряда реальных целых чисел привело Кантора к усмотрению в этом ряду так называемых числовых классов. Первый числовой класс есть множество конечных целых чисел: 1, 2, 3, … За ним следует второй числовой класс. Он состоит из некоторых бесконечных целых чисел, следующих одно за другим в определенной последовательности. Затем идут 3-й, 4-й числовые классы и так далее [19].
         Однако Пьер де Ферма никак не мог быть знаком с работами Кантора, так как умер почти за двести лет до его рождения. И все же, несмотря на это обстоятельство, Ферма вполне мог догадаться о существовании решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ среди бесконечных целых чисел. Ведь ему было дано замечать в числах гораздо больше других. Достаточно вспомнить, что именно он открыл следующую после пифагорейцев пару дружественных чисел или именно он заметил, что число 26 является единственным числом, заключенным между квадратом и кубом. Да и сам он в своих работах уделял внимание бесконечным величинам. Именно Пьер де Ферма ввел бесконечно малые величины в аналитическую геометрию. А тут вдруг взял и не заметил решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ среди бесконечных целых чисел. Может, у него были причины, в явном виде не показывать наличие таких решений, и поэтому он не стал конкретизировать в своей формулировке теоремы, в каких именно числах отсутствуют решения? Может, он хотел, чтобы остальные математики сами догадались об этом? Подобные розыгрыши были свойственны для Ферма.
         В любом случае в результате получилось так, что современная формулировка так называемой Великой теоремы Ферма формально является просто неверной, а формулировка самого Пьера де Ферма, как минимум, выглядит неполной.
         Кроме этого необходимо отметить, что бесконечность и бесконечное число являются разными понятиями и имеют различные свойства [5]. Иногда при оперировании с бесконечными числами пытаются применить правила используемые для работы с бесконечностями и естественно приходят к неверным выводам.
         С учетом обнаруженных неточностей, формулировку Великой теоремы Ферма следовало бы записать примерно в виде следующего утверждения: нельзя найти конечных рациональных ненулевых чисел x, y и z, которые удовлетворяли бы уравнению xⁿ + yⁿ = zⁿ , если n любое натуральное число большее 2.
         В этой формулировке теоремы неважно целочисленными или нет, будут решения, важно чтобы они были в конечных числах. Ведь если решения для конечных рациональных чисел не будут найдены, то в частном случае и решения в конечных целых числах тоже существовать не будут.
         В целях преодоления отмеченных проблем в формулировке Великой теоремы Ферма с наименьшими потерями и без необходимости внесения в нее изменений обычно утверждается, что якобы при формулировании теоремы из-за явной очевидности по умолчанию в качестве решений имелись в виду только целые конечные числа.
         Конечно, если об этом не было прямо, где-либо написано, то сейчас установить, кто и что в далеком прошлом имел в виду, не представляется возможным. С другой стороны в математике действительно очень часто многое не прописывается, а именно имеется в виду по умолчанию. Происходит это из-за несовершенства используемого в математике языка. Дело в том, что не все функции удается задать только при помощи формул. Часто задавать функции приходится словесными высказываниями или пояснять используемые при задании функций математические формулы словесными высказываниями. При этом в словесных высказываниях уточнения, которые представляются очевидными, часто опускаются. В дальнейшем об этом забывают и в случае применения математических выражений так, как они написаны (без учета уточнений по умолчанию), могут возникать определенные проблемы [6].
         Например, если рассмотреть известную из курса физики формулу для вычисления пройденного пути при равномерном прямолинейном движении: s=v·t, то станет очевидным, что эта формула не будет иметь смысла при скорости движения v равной отрицательным значениям или превышающим скорость света и или при отрицательном времени движения t. Таким образом, чисто математически утверждение, что пройденный путь в общем случае выражается через эту формулу, является неправильным. Вообще то при записи, в качестве чисто математического выражения, она должна сопровождаться словесными высказываниями. Такое положение дел в той или иной степени характерно для большинства используемых формул (уравнений).
         И Великая теорема Ферма на первый взгляд вроде бы не отличается от большинства используемых формул, действительно сразу была задана преимущественно в виде словесных высказываний, содержащих сравнительно много уточнений, и вроде бы некоторые из них действительно могли бы быть приняты по умолчанию.
         Однако эта теорема изначально могла быть сформулирована с использованием математических выражений, которые исключают необходимость применения большинства словесных высказываний и двойного толкования. Но по непонятным причинам этого не было сделано. Например, при формулировании теоремы можно было бы использовать следующее математическое выражение:

где [ ] – знак, обозначающий целую часть числа или обозначает операцию по отбрасыванию дробной части от результата вычисления выражения, стоящего в прямоугольных скобках.
         Тогда формулировка Великой теоремы Ферма сведется всего лишь к утверждению, что данное уравнение не имеет решений в конечных действительных числах.
         Действительно, какие бы значения x, y, z и n ни подставлялись в это уравнение, в ходе вычислений будет происходить возврат к уравнению Великой теоремы Ферма в ее классическом виде с учетом словесных высказываний.
         Например:

         [1+|x|]^[3+|n|] = [1+|-2|]^[3+|-2|] = 3⁵
         [1+|x|]^[3+|n|] = [1+|-2,5|]^[3+|-2,5|] = [3,5]^[5,5] = 3⁵
         [1+|x|]^[3+|n|] = [1+|0|]^[3+|0|] = 1³
         [1+|x|]^[3+|n|] = [1+|0,7|]^[3+|0,7|] = [1,7]^[3,7] = 1³
         [1+|x|]^[3+|n|] = [1+|3,7|]^[3+|4,7|] = [4,7]^[7,7] = 4⁷
         [1+|x|]^[3+|n|] = [1+|2|]^[3+|2|] = 3⁵

         К аналогичному виду будут приводить преобразования, выполненные и для значений y и z. При этом никакие словесные условия, пояснения, уточнения и тому подобное ни в явном виде, ни по умолчанию не требуются.
         Но существовала ли во время жизни Пьера де Ферма возможность задавать уравнения в подобном виде? Действительно обозначение целой части числа или антье от числа ввел К. Гаусс в 1808 году [5]. И это произошло уже после смерти Пьера де Ферма. Однако в 1808 году было введено лишь обозначение, а вот само понятие целой части числа было уже известно очень давно и никаких препятствий для его использования при задании уравнений не существовало. Поэтому сохраняется возможность того, что Пьер де Ферма осознанно предпочел использовать при задании своей теоремы сравнительно расплывчатые словесные формулировки.
         Однако, в любом случае, уточнение, что решениями уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ обязательно должны быть конечные числа необходимо, так как в противном случае и в доработанное уравнение можно будет подставлять бесконечные целые числа и соответственно находить решения, удовлетворяющие этому уравнению. И вообще, утверждение, что в Великой теореме Ферма в качестве решений могут использоваться только конечные числа, в этой связи, не выглядит столь уж очевидным.
         Кроме этого сделанный анализ формулировки Великой теоремы Ферма наглядно показывает, что эта теорема вовсе не является столь простой и понятной, как о ней принято говорить. А очень известное утверждение о том, что Великая теорема Ферма понятна даже любому школьнику (имеется в виду ее формулировка или смысл), является еще одним мифом, связанным с этой теоремой.

         Персидский астроном и математик, уроженец Кума (Иран) Ибн ал-Хусейн (полное имя - Низам ад-Дин ал-Хасан ибн Мухаммад ибн Хусайн ал-Арадж ал-Кумми ан-Найсабури) в своих сочинениях упоминает, что персидский математик и астроном аль-Ходжанди (полное имя - Абу Махмуд Хамид ибн аль-Хизр аль-Ходжанди), уроженец Ходжента (Таджикистан), работавший в Рее (Иран) приблизительно за шестьсот лет до рождения Пьера де Ферма, в десятом веке попытался доказать, что сумма двух кубических чисел не может быть кубическим числом, то есть частный случай Великой теоремы Ферма. К сожалению, само доказательство аль-Ходжанди не сохранилось.
         Это считается самой ранней из известных попыток доказательства частного случая Великой теоремы Ферма. В связи с этим не приходится сомневаться, что до Пьера де Ферма были и иные попытки доказательства в том или ином виде его знаменитой теоремы, но информация об этих попытках до нашего времени не сохранилась. Возможно в будущем историки все же обнаружат сведения об этих доказательствах, и возможно среди них даже удастся найти правильное доказательство.
         Но пока достоверно известно только, что примерно через шестьсот лет после персидского ученого аль-Ходжанди Пьер де Ферма возродил интерес к проблеме отыскания решений уравнения вида xⁿ + yⁿ = zⁿ для степеней n > 2, записав свое знаменитое замечание: «Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось».
         К сожалению, сам Ферма не оставил своего чудесного доказательства. В его записках было обнаружено обоснование лишь частного случая этой теоремы для показателя степени n = 4.
         Это обстоятельство позволило позже исследователям утверждать, что у Ферма не было доказательства его теоремы для общего случая. Или если оно и существовало, то было ошибочным.
         Однако в случае с Пьером де Ферма отсутствие записанного доказательства ни о чем не говорит, так как для него было обычным делом не оставлять своих доказательств. Ведь умалчивая о сути своих доказательств, он бросал своим современникам вызов, испытывая их способность самостоятельно отыскать доказательство его очередного утверждения, и тем самым поддразнивал своих коллег.
         Кроме этого на историю с оставленным Ферма доказательством можно посмотреть и с другой стороны. Ведь можно предположить, что Ферма знал о тупике в своем доказательстве теоремы для показателя степени n = 4 и оставил его просто из желания подшутить над остальными математиками, направив их по заведомо ложному пути.
         С другой стороны Ферма не был замечен в распространении ошибочных математических утверждений. Если бы он делал неверные доказательства, то неизбежно бы им часто распространялись бы и ошибочные математические утверждения, но за прошедшие столетия одно за другим были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта.
         Таким образом, нет никаких оснований, подозревать Пьера де Ферма в том, что у него отсутствовало правильное доказательство для общего случая его знаменитой теоремы. И его замечание на полях «Арифметики» Диофанта является всего лишь преднамеренным розыгрышем.
         В этой связи следует отметить, что и доказательство частного случая теоремы для показателя степени n = 4 методом бесконечного спуска было изложено им в не полном виде и при решении совершенно другой задачи. Описание этого метода было обнаружено в сорок пятом комментарии к «Арифметике» Диофанта и наиболее полно разработанный Пьером де Ферма метод бесконечного спуска приводится в его письме к Каркави от августа 1659 года: «Поскольку обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для доказательства столь трудных предложений, я нашел совершенно особый путь для того, чтобы достичь этого. Я назвал этот способ доказательства бесконечным или неопределенным спуском; в начале я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений:
         - что не существует числа, меньшего на единицу кратного трех, которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;
         - что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратным числом.
         Доказательство проводится путем приведения к абсурду таким способом: если бы существовал какой-нибудь прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством.
         Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности.
         Но если задано число, то не существует бесконечности, по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».
         Применяя метод бесконечного спуска для доказательства отсутствия решений в целых числах для уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴ Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах (x₁, y₁, z₁).
         При изучении свойств чисел (x₁, y₁, z₁) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (x₂, y₂, z₂). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (x₃, y₃, z₃) и так далее.
         Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми или натуральными числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение.
         Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (x₁, y₁, z₁) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n = 4 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может иметь целочисленных решений.
         Метод бесконечного или неопределенного спуска стал одним из наиболее мощных средств исследования диофантовых уравнений (Приложение 3).
         После П. Ферма его с успехом применяли Л. Эйлер и Л. Лагранж, а в наши дни – Л. Дж. Морделл, А. Вейль и другие. При этом метод был распространен на проблемы решения уравнений в рациональных числах. Но применить данный метод для общего случая Великой теоремы Ферма мешает неединственность разложения целых чисел алгебраических колец в произведение простых сомножителей из того же кольца.
         Кроме этого необходимо отметить, что метод бесконечного спуска позволяет доказать существование решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых бесконечных числах, так как для любого решения в целых бесконечных числах можно находить до бесконечности меньшие решения в целых бесконечных числах и так никогда и не дойти до наименьшего решения. Поскольку наименьшего решения в целых бесконечных числах просто не существует. Например, для уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴ можно записать его решение в целых бесконечных числах:

         Меньшее решение в целых бесконечных числах можно получить следующим образом:

         где k – число большее единицы, то есть может последовательно выбираться из ряда натуральных чисел: 2, 3, 4, 5, … и чем больше по величине будет k, тем меньшими будут решения уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴ в целых бесконечных числах (x, y, z). Но поскольку ряд натуральных чисел бесконечный, то и число k можно увеличивать бесконечно, а это означает, что найти наименьшее решение (x, y, z) невозможно.
         Таким образом, метод бесконечного спуска может быть применен для доказательства Великой теоремы Ферма только для случая, когда решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ выражаются в конечных числах. И это обстоятельство дополнительно свидетельствует в пользу того, что Пьер де Ферма мог знать о существовании решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых бесконечных числах.
         В последствии ряд математиков пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в целых числах при n, отличных от четырех, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. Пока живший в XVIII веке Леонард Эйлер не попытался использовать для доказательства Великой теоремы Ферма теорию комплексных чисел, не имеющую, казалось бы, никакого отношения к поставленной задаче и не заставил метод бесконечного спуска работать для случая n = 3. О чем Леонард Эйлер сообщил в своем письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года.
         Так через сто лет после смерти Пьера де Ферма впервые удалось совершить значительный прорыв на пути к решению его проблемы.
         Эйлер надеялся, что доказав Великую теорему Ферма для случая n = 3 он сможет экстраполировать полученный результат на уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ со всеми остальными показателями степени n. Но повторить успех при других значениях n ни самому Эйлеру ни другим математикам восемнадцатого века не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. Более того, даже само доказательство Эйлера содержало пробел [7], который, впрочем, был впоследствии преодолен.
         В связи с этим уже доказательство Леонарда Эйлера не являлось элементарным и вряд ли могло иметь отношение к доказательству Пьера де Ферма и не могло приближать к решению задачи по восстановлению утраченного доказательства Ферма.
         Однако выяснилось, что доказательство Великой теоремы Ферма для случая n = 4 остается в силе при показателе степени n равном 8, 12, 16, 20…. и так далее для любой степени, кратной четырем. Действительно, любое число, представимое в виде восьмой, а также двенадцатой, шестнадцатой, двадцатой и так далее степени некоторого числа, представимо и в виде четвертой степени какого-то другого целого числа. Например, число 256 равно 2⁸, но оно равно и 4⁴ или число 4096 равно 2¹², но оно же равно и 8⁴. Следовательно, любое доказательство, которое справедливо для четвертой степени, остается в силе для восьмой и любой другой степени, кратной четырем. На основе того же принципа можно утверждать, что доказательство Леонарда Эйлера для случая n = 3 автоматически распространяется и на случаи, когда n = 6, 9, 12, 15…. и так далее для любой степени, кратной трем. Например, число 64 равно 2⁶, но оно равно и 4³ или число 512 равно 2⁹, но оно же равно и 8³. Тем самым Великая теорема Ферма оказалась верной сразу для многих чисел n. Вот такие рассуждения существовали раньше и продолжают существовать в наше время.
         Тут необходимо обратить внимание на то, что такое распространение частных случаев доказательства Великой теоремы Ферма на все кратные степени являлось ошибочным. Например, если рассмотреть показатель степени n равный 4, 6, 8, 10…. и так далее для любой степени, кратной двум, то любое число, представимое в виде четвертой, а также шестой, восьмой, десятой и так далее степени некоторого числа, тоже будет представимо и в виде второй степени какого-то другого целого числа. Действительно, число 16 равно 2⁴, но оно равно и 4² или число 4096 равно 2¹², но оно же равно и 64². Теперь, следуя выше приведенным рассуждениям, приходим к выводу, что Великая теорема Ферма не верна для всех четных значений показателя степени n, так как уравнение x² + y² = z² имеет решения в конечных целых числах. Однако известно, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ при n равном 4, 6, 8, 10… и так далее не имеет решений в конечных целых числах, то есть пришли к противоречию. В связи с тем, что подобная ошибка в рассуждениях сравнительно распространена в дальнейшем при описании предлагавшихся вариантов доказательства Великой теоремы Ферма на нее не всегда будет указываться.
         При этом в качестве особенно ценного рассматривалось доказательство Леонарда Эйлера Великой теоремы Ферма для случая n = 3, так как предполагалось, что для доказательства теоремы в общем виде достаточно обосновать утверждение Ферма лишь для простых чисел n. Действительно, пусть, например, уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имеет решение при n = q·r, где q и r – некоторые простые числа, то есть числа не кратные ни одному целому числу, кроме единицы и самого себя. Тогда уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ можно будет записать в следующем виде: x^q·r + y^q·r = z^q·r. Введя обозначения a = x^q, b = y^q, c = z^q, приходим к уравнению a^r + b^r = c^r. Тем самым, из существования решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ для составного числа n следует существование решения этого же уравнения для меньшего показателя степени – простого делителя r числа n. Таким образом, установив желаемый результат лишь для простых значений показателя степени n, будет получен аналогичный результат для произвольного значения показателя степени n, и тем самым будет окончательно доказана Великая теорема Ферма в общем виде. Но, к сожалению, перечень простых чисел бесконечен. Следовательно, несмотря на то, что можно исключить из рассмотрения все уравнения при составных значениях показателя степени n, количество уравнений xⁿ + yⁿ = zⁿ с простыми значениями показателя степени n по-прежнему останется бесконечным.
         Хотя сожалеть было, в общем-то, и не о чем и исключать из рассмотрения, во всяком случае, по рассмотренным основаниям никакие значения показателя степени n было нельзя. Действительно, уже при разложении на простые множители первого составного числа n = 4 получим, что q = 2 и r = 2. Так как уравнение x² + y² = z² имеет бесконечно много решений в конечных целых числах, а уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴ неразрешимо в конечных целых числах, то приходим к очередному противоречию.
         Конечно, можно попытаться исключить простое число 2 из рассмотрения. И, разумеется, это уже было предложено сделать. Но в этом случае к бесконечному количеству простых значений показателя степени n прибавится еще и бесконечное количество составных чисел, образованных с участием числа 2.
         После прорыва, осуществленного Эйлером, не было ни малейшего продвижения, и к началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой трудной проблемы в теории чисел.
         Поиски доказательства Великой теоремы Ферма возобновились с новой силой только после предложения француженкой Софи Жермен качественно нового способа исследования уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ.
         Живя в эпоху шовинизма и предрассудков, Софи Жермен вынуждена была представляться неким месье Лебланом. Поэтому именно от месье Леблана Гаусс получил письма, в которых Софи Жермен изложила ему свои предложения. В частности, вместо того чтобы доказывать неразрешимость уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ, она предложила установить, каким свойствам должно удовлетворять его решение в случае, если таковое существует. Согласно ее утверждению, если n есть простое число, а число 2·n + 1 также является простым, то из равенства xⁿ + yⁿ = zⁿ вытекает, что хотя бы одно из трех чисел x, y, z делится на n. В частности, если уравнение x⁵ + y⁵ = z⁵ имеет решение, то хотя бы одно из чисел x, y, z должно непременно делиться на пять. Из теоремы Софи Жермен следовало, что Великая теорема Ферма распадается на два специфических случая: когда ни одно из чисел x, y, z не делится на n и когда одно из них делится на n. Таким образом, Жермен показала специалистам по теории чисел, как исключить целую группу случаев с простыми значениями n, и объединенными усилиями ее коллеги продолжали доказывать теорему для одного простого значения n за другим.
         В 1825 году метод Софи Жермен был успешно применен Густавом Леженом Дирихле и Адриеном Мари Лежандром. И Лежандру, и Дирихле независимо друг от друга удалось доказать Великую теорему Ферма при n = 5, причем оба основывали свои доказательства на рассуждениях Софи Жермен и именно ей были обязаны своим успехом.
         Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя француз Габриель Ламе. Он внес некоторые усовершенствования в метод Жермен и доказал Великую теорему Ферма при простом значении n = 7 (1839 г). В дальнейшем были получены доказательства Великой теоремы Ферма еще и для случаев n = 11 и 13, но общего доказательства на этом пути получить не удалось.
         После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила премию: золотую медаль и 3000 франков, тому математику, который сумеет доказать Великую теорему Ферма в общем виде.
         Конкурс был назначен на 1853 год и затем продлен до 1856 года. Секретарю конкурса были представлены одиннадцать работ. Ни в одной из них поставленный вопрос решен не был.
         Несмотря на значительное материальное вознаграждение в борьбе за первую премию в истории Великой теоремы Ферма приняли участие только профессиональные математики. А вот дилетанты-любители тогда практически не откликнулись. Видимо в девятнадцатом веке система образования и распространения научной информации были еще недостаточно развиты.
         Первого марта 1847 года на заседании Французской Академии Наук определились два главных претендента на получение премии Габриель Ламе и Огюстен Луи Коши, которые пытались использовать схожие подходы к доказательству теоремы.
         Хотя ни Ламе, ни Коши не располагали полным доказательством теоремы, оба соперника страстно желали подкрепить свои притязания, и двадцать второго марта представили Французской Академии Наук имевшиеся у них на тот момент результаты в запечатанных конвертах. В то время это делалось для того, чтобы в последствии в случае возникновения споров о первенстве математик мог подтвердить свой приоритет.
         Однако после публикации этих материалов возникли сомнения в корректности возможного доказательства. И после обнародования двадцать четвертого мая Жозефом Лиувиллем письма Эрнста Куммера из Германии все надежды Ламе и Коши на доказательство Великой теоремы Ферма были окончательно развеяны.
         Куммер заметил, что оба француза допускают одну и туже ошибку. По его мнению, основная проблема заключалась в том, что доказательства Коши и Ламе опирались на использование свойства целых чисел, известного под названием единственности разложения на простые множители. Это свойство означает, что существует только одна возможная комбинация простых чисел, произведение которых дает данное целое число. Например, 15 = 3·5; 16 = 2·2·2·2; 18 = 2·3·3. Единственность разложения на простые множители для всех натуральных чисел в настоящее время называется основной теоремой арифметики. Эта теорема, многократно и без каких либо проблем успешно применялась при решении различных задач в натуральных числах. Но оба, представленных Французской Академии Наук доказательства использовали мнимые числа. И Куммер обратил внимание на то, что, хотя теорема о единственности разложения на множители выполняется для всех натуральных чисел, она не обязательно должна выполняться для мнимых чисел.
         Так как умножение комплексных чисел, то есть чисел представляющих собой комбинацию действительных и мнимых чисел, производится по более сложным правилам, чем умножение действительных чисел, то появляются дополнительные способы разложения таких чисел на множители. И в связи с этим при использовании в доказательстве мнимых чисел речь идет уже не о единственности разложения, а о выборе одного из вариантов разложения на множители.
         Таким образом, утрата единственности разложения на множители нанесла тяжелый урон доказательствам Коши и Ламе, но не уничтожила их полностью. Предполагалось, что доказательства должны продемонстрировать отсутствие решений в целых числах у уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n — любое целое число, большее 2. Куммер показал, что, используя дополнительные ухищрения, можно восстановить единственность разложения на множители при некоторых значениях n. Например, проблему единственности разложения можно обойти для всех простых чисел, не превышающих n = 31. Но при n = 37 избавиться от трудностей не так просто. Среди других, прочих чисел, меньших 100, особенно трудно доказать Великую теорему Ферма при n = 59 и n = 67. Это так называемые нерегулярные простые числа, разбросанные среди остальных чисел, стали камнем преткновения на пути к полному доказательству.
         Куммер отметил, что не существует известных математических методов, которые позволили бы сразу рассмотреть все нерегулярные простые числа. Но он полагал, что, тщательно подгоняя существующие методы к каждому нерегулярному простому числу в отдельности, с ними удастся справиться. Разработка таких, индивидуальных для каждого числа, методов было бы делом медленным и чрезвычайно трудным, и, что еще хуже, множество нерегулярных простых чисел было бесконечным. Поэтому рассмотрение нерегулярных простых чисел по одному силами даже всего мирового математического сообщества было бы бесконечным.
         Однако идеи Куммера все же позволили существенным образом продвинутся на пути доказательства Великой теоремы Ферма. В частности, была доказана неразрешимость уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n для всех значений n меньше ста. Но полного доказательства Великой теоремы Ферма Куммер так и не добился.
         После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться новые направления и математики сосредотачивали свои усилия в первую очередь именно на них, а Великая теорема Ферма все больше начинала восприниматься как романтическая мечта прошлого. Большинство профессиональных математиков стали считать поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадежным делом и решительно отказывались тратить свое время на такое бесполезное занятие.
         Однако совершенно неожиданно в начале двадцатого века проблема Пьера де Ферма вновь привлекла к себе всеобщее внимание благодаря некоему Паулю Вольфскелю, немецкому промышленнику из Дармштадта.
         Пауль Вольфскель происходил из очень богатой семьи и состоялся, прежде всего, как успешный предприниматель. Но в университете он изучал математику и после его окончания продолжил на любительском уровне заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли найти доказательство Великой теоремы Ферма. И эта проблема очень сильно его увлекала. Правда, внести заметный вклад в поиски доказательства Великой теоремы Ферма он так и не смог.
         Еще с его именем и проблемой Пьера де Ферма связана одна легенда. Утверждается, что Вольфскель из-за неразделенной любви решил покончить с собой, но пропустил им же самим назначенное время самоубийства, увлекшись доказательством Великой теоремы Ферма, а потом и вовсе передумал сводить счеты с жизнью.
         В результате под влиянием всех этих обстоятельств после своей смерти в 1908 году в своем завещании он оставил значительную часть своего состояния в качестве премии тому, кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок, весьма значительная сумма по тем временам, была той суммой, которую Вольфскель счел своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему, спасшую ему жизнь.
         Деньги были положены на счет Королевского научного общества Гёттингена, которое в 1908 году официально объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. Текст объявления приведен в Приложении 4. В этой организации когда-то работали такие знаменитые ученые как Гаусс, Дирихле, Риман, а в то время Гильберт, Клейн и Минковский.
         Комиссия выплатила бы 100000 марок первому математику, который доказал бы, что Великая теорема Ферма верна, но тот, кто доказал бы, что теорема Ферма не верна, не получил бы ничего. Возможно, это сыграло свою отрицательную роль при дальнейших попытках восстановить утраченное доказательство Ферма. Ведь, по всей видимости, именно из-за желания получить премию никто из тех, кто еще продолжал заниматься этой проблемой, не хотел замечать выше описанные и достаточно очевидные проблемы в формулировке теоремы, а это в свою очередь не позволило скорректировать направления исследований.
         О премии Вольфскеля было объявлено во всех математических журналах, и весть о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Несмотря на широкую рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной премии, Комиссии Вольфскеля не удалось вызвать особый интерес у профессиональных математиков.
         Работавший в то время в Гёттингенском университете Давид Гильберт, которого называли последним из великих математиков, даже говорил, что ему доказывать Великую теорему Ферма невыгодно. Действительно, на проценты с премии Вольфскеля Гёттингенский университет приглашал к себе математиков со всего мира. При этом еще в 1900 году на Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт выступил с грандиозной программой развития математики двадцатого века. Среди поставленных им двадцати трех проблем десятая проблема предполагала разработку метода позволяющего ответить на вопрос, будет ли диофантово уравнение общего вида иметь решение. Понятно, что положительное решение десятой проблемы Гильберта будет означать автоматическое доказательство или опровержение Великой теоремы Ферма, связанной, как известно, с одним конкретным диофантовым уравнением. Поэтому трудно сказать, пытался ли Гильберт доказать Великую теорему Ферма?
         К сожалению, в 1970 году советский математик Юрий Матиясевич дал отрицательное решение десятой проблемы Гильберта [8]. Он показал, что принципиально невозможно разработать универсальный алгоритм, который позволил бы установить, будет ли произвольное диофантово уравнение иметь решение или нет. Теория диофантовых уравнений оказалась более сложной, чем об этом думали математики в начале двадцатого века.
         Объявление о премии за доказательство Великой теоремы Ферма не вдохновило профессиональных математиков, но побудило заняться решением загадки Ферма огромное количество любителей. И таких людей было столь много, что для них были введены даже специальные термины «ферматисты» или «ферматики» - люди, пытающиеся доказать теорему Ферма элементарными методами и зачастую не имеющие специального математического образования.
         Уже несколькими неделями спустя после объявления конкурса на соискание премии Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина составленных дилетантами доказательств. В результате их рассмотрения все они были признаны ошибочными. О рассмотрении же присланных доказательств необходимо сказать особо.
         Так утверждается, что независимо от того, кто был отправителем того или иного доказательства, каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, если неизвестному любителю все же удастся найти столь давно разыскиваемое доказательство. Возможно, с самого начала, какое-то непродолжительное время так оно и было.
         Деканом математического факультета Гёттингенского университета с 1909 по 1934 годы был профессор Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность разбирать все доказательства, присланные на соискание премии Вольфскеля.
         Ландау был вынужден то и дело прерывать свои собственные исследования, поскольку ему нужно было разбирать десятки поступавших к нему ежемесячно доказательств. Чтобы справиться с ситуацией, профессор Ландау попросил напечатать несколько сотен карточек, на которых значилось:

«Уважаемый(ая) . . . . . . . .

         Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр … в строке … Из-за нее все доказательство утрачивает силу.

Профессор Э.М. Ландау»

         Каждое из полученных доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.
         Такое рассмотрение доказательств очень трудно назвать скрупулезным. При таком рассмотрении вполне можно было пропустить правильное доказательство. В результате отсутствуют основания для признания абсолютно всех первых доказательств ошибочными. Однако именно это всегда и утверждалось.
         Несмотря на пренебрежительное отношение, доказательства продолжали поступать непрерывным потоком в течение нескольких лет даже после того, как премия Вольфскеля в значительной мере обесценилась из-за гиперинфляции после первой мировой войны. Но и качество рассмотрения доказательств не улучшилось.
         Составить представление о работе Комиссии по премии Вольфскеля позволяет письмо доктора Ф. Шлихтинга Паулю Рибенбойму [9]:

«Уважаемый сэр!

         Общее число представленных к настоящему времени «решений» неизвестно. В первый год (1907-1908 гг.) в анналах Академии было зарегистрировано 621 решение. В настоящее время в Академии хранится стопка бумаг, толщиной около трех метров, с материалами переписки по проблеме Ферма. В последние десятилетия работа с письмами производилась следующим образом. Секретарь Академии делил поступающие рукописи по следующим категориям: 1) полная чепуха, которая немедленно отсылалась обратно; 2) материал, который по крайней мере внешне походил на математику.
         Вторая часть корреспонденции передавалась математическому факультету, где работа по прочтению рукописей, нахождению ошибок и ответу авторам поручалась одному из ассистентов. Сейчас очередная жертва - это я. Каждый месяц поступают 3-4 письма, на которые я должен отвечать. В этих письмах масса интересного и любопытного материала. Например, один из корреспондентов прислал половину доказательства и пообещал прислать вторую, если мы выплатим 1000 марок авансом. Другой корреспондент пообещал мне 1% от своих доходов от своих публикаций, интервью на радио и телевидении, когда он станет знаменитым, если только я окажу ему сейчас поддержку. В противном случае он угрожал послать свое доказательство в адрес математического факультета какого-нибудь российского университета и тем самым лишить нас славы его открывателей. Время от времени кто-нибудь из авторов «доказательств» наведывается в Гёттинген и настаивает на личной встрече и обсуждении.
         Почти все «доказательства» написаны на самом элементарном уровне (и используют обозначения, заимствованные из высшей математики и, быть может, некоторых плохо усвоенных работ по теории чисел). Тем не менее, понять их очень трудно. В социальном плане отправители нередко оказываются людьми с техническим образованием, но с не сложившейся карьерой, которые пытаются теперь достичь успеха с помощью доказательства Великой теоремы Ферма. Некоторые рукописи я передал психиатрам, и те диагностировали тяжелую шизофрению.
         Одно из условий в завещании Вольфскеля состояло в том, что Академия была должна ежегодно печатать извещение о конкурсе на соискание премии в главных математических журналах. Но уже через несколько первых лет журналы отказались печатать уведомление о конкурсе потому, что редакции оказались заваленными письмами и сумасшедшими рукописями. Надеюсь, что эта информация представит для Вас некоторый интерес.
         Искренне Ваш Ф. Шлихтинг»

         Автор письма больше сосредоточен на личных качествах претендентов на получение премии, чем на содержании доказательств. К содержанию доказательств он демонстрирует заранее негативное отношение.
         Однако далеко не все доказательства Великой теоремы Ферма попадали в Комиссию по премии Вольфскеля Гёттингенского университета, большая часть была направлена их авторами в различные высшие учебные заведения, научные организации, в редакции журналов и издательства, а так же лично известным ученым буквально по всему миру.
         Отдельные доказательства даже были опубликованы в основном в ненаучной прессе. Так среди них наиболее известны брошюра В. И. Будкина, изданная в 1975 году в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» и книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году.
         С появлением сети Интернет количество подобных самостоятельных публикаций вариантов доказательства Великой теоремы Ферма, правда, в электронном виде, многократно увеличилось и продолжает расти.
         Министерство образования и науки Украины в 2001 году даже выдало Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «Доказательство теоремы Ферма», но не рассматривая представленное доказательство по существу.
         В большинстве случаев подобные доказательства оставлялись без внимания и ответа. А о получении рецензии и речи не могло идти. Более того, игнорирование - это еще был не самый плохой вариант, встречались и откровенные насмешки. Так один любитель пошутить над не вполне здоровыми людьми отвечал авторам присланных доказательств: «У меня есть замечательное опровержение присланного Вами доказательства, но, к сожалению, эта страница недостаточно велика, чтобы вместить его».
         Нетрудно представить, какой благосклонный прием ожидал бы в Комиссии по премии Вольфскеля чудесное доказательство самого Пьера де Ферма. Ведь написано оно на самом элементарном уровне, да еще и устаревшим математическим языком семнадцатого века, а потому мало понятно. Конечно Пьер де Ферма, как автор столь странно написанного доказательства в лучшем случае был бы принят за ферматиста, а в худшем за шизофреника, а его произведение по существу рассмотрели разве что психиатры.
         Из всей этой истории с любительскими доказательствами Великой теоремы Ферма существует одно нехорошее следствие – отсутствие уверенности у любого автора правильного доказательства теоремы, что оно действительно стало первым после доказательства самого Пьера де Ферма. Так как сейчас уже отсутствует возможность доказать, что абсолютно все любительские доказательства были неправильными.
         В первой половине двадцатого века профессиональные математики сколь ни будь заметно, не отметились в решении проблемы Ферма. В этот период времени косвенно с доказательством Великой теоремы Ферма связывают лишь некоторые работы Курта Гёделя.
         В 1931 году Курт Гёдель опубликовал свою работу «Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme», в которой содержались его так называемые теоремы о неразрешимости. Из высказанных им идей следовало, что некоторые проблемы математики могут оказаться неразрешимыми. И было сделано предположение (правда не самим Гёделем), что Великая теорема Ферма относится к таким неразрешимым проблемам математики. Таким образом, работа Гёделя о неразрешимости внесла элемент сомнения в вопрос о том, разрешима ли проблема Ферма.
         Конечно эти рассуждения, как и многие другие, были ошибочными и работы Гёделя никак небыли связаны с проблемой Ферма. Ведь если проблема Ферма неразрешима в общем виде, то не должна ли она быть неразрешима и для частных случаев? Но Великая теорема Ферма к тридцатым годам двадцатого века была уже доказана для многих частных случаев.
         К восьмидесятым годам двадцатого века с использованием компьютеров неразрешимость уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в натуральных числах была установлена для всех n меньших или равных 2¹²⁵⁰⁰⁰ (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰ записывается 37628-ю цифрами, то поиски контр примера к Великой теореме Ферма стали считать совершенно безнадежным занятием.
         Вот только предположения о том, что можно установить при помощи компьютера неразрешимость уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в натуральных числах хотя бы для совсем небольших значений n были ошибочными. Дело в том, что решения (x, y, z) могут выражаться в сколь угодно больших числах и более того даже в бесконечных числах, с которыми ни один компьютер, ни сейчас, ни в будущем работать не может.
         Получается, что если утверждение о неразрешимости уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ в натуральных числах для всех n меньших или равных 2¹²⁵⁰⁰⁰ истинно, то данное уравнение неразрешимо и в целых бесконечных числах. Однако выше было показано, что это уравнение имеет бесконечно много решений в целых бесконечных числах. Таким образом, пришли к противоречию.
         Причем введение ограничения, заключающегося в том, что решения (x, y, z) могут выражаться только в конечных числах, принципиально ситуацию для компьютерных доказательств не улучшит. Поскольку любой компьютер может корректно работать только с числами определенной величины (длины). При превышении этой величины компьютер начинает искажать результаты вычислений и таким результатам доверять нельзя.
         Например, вычислим значение z в уравнении x⁴ + y⁴ = z⁴ при помощи обычного «бытового» компьютера для достаточно больших

         или

a² + b² = c², что и требовалось доказать.

         Существует большое количество доказательств теоремы Пифагора. С наиболее известными вариантами доказательств этой теоремы можно ознакомиться, например, в статье Г. Глейзер «О теореме Пифагора и способах ее доказательства» [2].

Приложение 3         

         Диофантово уравнение – это уравнение вида P(x₁ , … , x_n) = 0, где левая часть представляет собой многочлен от переменных x₁ , … , x_n с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u₁ ; … ; u_n) целых чисел со свойством P(u₁ , … , u_n) = 0 называется частным решением диофантова уравнения P(x₁ , … , x_n) = 0. Решить диофантово уравнение это, значит, найти все его решения, или, как говорят, общее решение этого уравнения. Часто диофантовыми называют и уравнения вида P(x₁ , … , x_n) = Q(x₁ , … , x_n), где в левой и правой частях стоят многочлены от переменных x₁ , … , x_n : их всегда можно записать в виде диофантовых уравнений P(x₁ , … , x_n) – Q(x₁ , … , x_n) = 0.
         Эти уравнения названы в честь Диофанта Александрийского. Через века до нашего времени дошли шесть книг из тринадцати его главного труда «Арифметика» и книга «О многоугольных числах». Он разрабатывал приемы нахождения рациональных решений алгебраических уравнений от нескольких неизвестных.
         В качестве примеров диофантовых уравнений можно привести следующие уравнения:
         3·x – 8 = 0 – диофантово уравнение первой степени от одной переменной x. Очевидно, что оно не имеет решений, так как 8 не делится нацело на 3. В то же время, это уравнение имеет корень, который не является целым числом.
         Диофантово уравнение 6·x = 24 имеет единственное решение x = 4.
         Диофантово уравнение x² + y² = z² является уравнением из теоремы Пифагора и имеет бесконечно много решений в виде, так называемых, пифагоровых троек.
         Диофантово уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ при n > 2 согласно Великой теореме Ферма не имеет ненулевых решений в целых числах.
         Уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ Великой теоремы Ферма является предметом диофантова анализа.
         Нахождение решений произвольных диофантовых уравнений – непростая задача. Более того, в семидесятых годах двадцатого века было доказано, что она алгоритмически неразрешима, то есть невозможно придумать алгоритм, который для произвольного заданного диофантова уравнения давал бы ответ на вопрос: «Есть у этого уравнения хотя бы одно решение?».

Приложение 4         

         Во исполнение воли д-ра Пауля Вольфскеля, скончавшегося в Дармштадте, мы объявляем о создании фонда в сто тысяч марок, каковая сумма и будет вручена тому, кто первым докажет Великую теорему Ферма.

Будут соблюдаться следующие правила.

         1. Королевское научное общество в Гёттингене обладает полной свободой воли в принятии решения, кому надлежит присудить премию. Рукописи, представленные с единственной целью принять участие в конкурсе на получение премии, приниматься не будут. К рассмотрению допускаются только математические мемуары, представленные в виде статей в периодических изданиях или имеющиеся в книжных лавках. Общество обращается к авторам подобных мемуаров с просьбой присылать по крайней мере пять печатных экземпляров.
         2. Работы, опубликованные на языках, непонятных ученым специалистам, выбранным для работы в жюри, не допускаются к участию в конкурсе. Авторам таких работ разрешается заменить их переводами, удостоверившись в точности последних.
         3. Общество не берет на себя ответственность за рассмотрение работ, не представленных на конкурс, а также за ошибки, которые могут произойти из-за того, что автор работы или часть работы не известны Обществу.
         4. Общество сохраняет за собой право принятия решения в случае, когда к решению проблемы имеет отношение несколько лиц или когда решение является результатом совместных усилий нескольких ученых, в том числе и по вопросам распределения премии.
         5. Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два года после опубликования мемуара, удостоенного премией. Двухлетний промежуток времени необходим для того, чтобы немецкие и иностранные математики имели возможность высказать свое мнение по поводу опубликованного решения.
         6. После того, как состоится присуждение премии Обществом, секретарь от имени Общества уведомляет об этом лауреата. Решение публикуется всюду, где ранее было объявлено о конкурсе на соискание премии. Присуждение премии Обществом обсуждению не подлежит.
         7. Выплата премии лауреату производится в течение трех месяцев после присуждения Королевским казначеем Гёттингенского университета или, на ответственность получателя, в любом указанном им месте.
         8. Капитал может быть выплачен по желанию Общества под расписку либо наличными, либо переводом финансовых ценностей. Выплата премии считается произведенной при переводе этих финансовых ценностей даже в том случае, если к концу дня сумма премии не достигнет 100000 марок.
         9. Если премия не будет присуждена до 13 сентября 2007 года, то дальнейшие заявки не принимаются.
         Конкурс на соискание премии Вольфскеля считается открытым с сего дня на приведенных выше условиях.

Гёттинген, 27 июня 1908 г.,
Королевское общество наук

Приложение 5         

Приложение 6         

         Любое целое число a можно разделить с остатком на натуральное число m. Остаток от деления числа на m называется вычетом или если говорить строго вычетом числа a по модулю m. Операция, сопоставляющая числу a его вычет по модулю m, называется приведением a по модулю m.
         Два целых числа a и b сравнимы по модулю m, если их разность делится на m. Числа, имеющие одинаковые остатки от деления на m, сравнимы по модулю m.
         Значения вычетов по модулю m, принадлежат множеству 0, 1, …m-1. То есть целое число может иметь не больше, чем m остатков. Это значит, что множество целых чисел можно разбить на m групп относительно m. Элементы одной и той же группы будут иметь одинаковые вычеты по модулю m. Очевидно, что группы не пересекаются.
         Наиболее часто в качестве примера использования в быту арифметики вычетов приводят обычные аналоговые часы. Когда говорят четыре часа по полудню, то имеют в виду, что после двенадцати часов дня прошло четыре часа, но принято называть не шестнадцать часов (12 + 4 = 16), а четыре часа. Это как раз и соответствует правилам арифметики вычетов по модулю 12, так как вычет числа 12 по модулю 12 равен 0, а вычет числа 16 по модулю 12 равен 4.
         Данный пример наглядно демонстрирует суть арифметики вычетов, которая отрезает от числовой прямой участок по число равное модулю и соединяет конец этого участка с началом числовой прямой, то есть с нулем. Образуя, таким образом, из части числовой прямой числовое кольцо.
         Более подробно с теорией сравнений можно ознакомиться, например, в [20].

1. Большой энциклопедический словарь / Ред. А.М. Прохоров. – 2-е изд., перераб. и доп . – М. : Большая Российская энциклопедия, 2000. – 1456 с.
2. Г. Глейзер. О теореме Пифагора и способах ее доказательства [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://shenev.ru/ket/no24_01.htm
3. А.М. Белов. О доказательстве большой теоремы Ферма элементарными методами известными во время жизни Пьера де Ферма [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://stob2.narod.ru/39s.htm, 2014.
4. А.М. Белов. Великая теорема Ферма неверна имеются ее решения среди бесконечных целых чисел теоретически доказать ее невозможно [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://stob2.narod.ru/14s.htm, 2005.
5. Математика. Большой энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - 3-е изд. - М.: Большая Российская Энциклопедия, 2000. -848 с.
6. А.М. Белов. К вопросу детального математического описания уравнениями дискретных объектов и процессов [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://stob2.narod.ru/20s.htm, 2006.
7. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел.– М.: Мир, 1980.
8. Ю.В. Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993.
9. Сингх С. Великая теорема Ферма.– М.: МЦНМО, 2000.
10. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem // Ann. of Math., 1995. – Vol. 142. – P. 443–551.
11. Taylor R., Wiles A. Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras // Ann. of Math., 1995. – Vol. 142. – P. 553–572.
12. Ю.А. Ивлиев Ошибочное доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма - Фундаментальные исследования (раздел «Физикоматематические науки») 2008 № 2, 13-16.
13. М.Б. Бабаев. О «доказательствах» проблемы, названной «Последняя теорема Ферма» [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://evikaaz.narod.ru/m1.htm, 2005.
14. Абу Махмуд Хамид ибн ал-Хызр ал-Ходжанди: Биография [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://people.su/119180.htm.
15. А.М. Белов. О нумерологии, лженауке, математике, формуле и калькуляторе нумерологического сокращения чисел [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://stob2.narod.ru/36s.htm, 2013.
16. Нумерология [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: https://ru.wikipedia.org/wiki/Нумерология.
17. Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient The historical roots of elementary mathematics. — Courier Dover Publications, 1976.
18. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / пер. с нем. под. ред. А. П. Юшкевича. — М.: Физматлит, 1960.
19. В.Ф. Асмус Проблема интуиции в философии и математике Очерк истории: XVII – начало XX в. – М.: Соцэгиз, 1963.
20. И.М. Виноградов Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972.
21. А.М. Белов. Периодические импульсные функции на основе универсального уравнения [Электронный ресурс]. – Интернет адрес: http://stob2.narod.ru/16s.htm, 2005.
22. А.М. Белов. Функция для описания скачкообразно и качественно изменяющихся процессов // Тульские ученые накануне третьего тысячелетия: Сб. аналит. и информ. материалов. - Тула: Гриф и Ко , 2000. - С. 40-41.