| О проекте | Главная | Оставить сообщение | Адрес для связи: tbam1@rambler.ru |
В статье: " Односторонняя (неориентируемая) поверхность без края (замкнутая) без самопересечений в трехмерном пространстве" http://stob2.narod.ru/9i.htm рассматривался вопрос возможности получения в трехмерном пространстве односторонней поверхности без края, используя листы Мебиуса. И на этот вопрос давался отрицательный ответ. Однако из изложенного в этой же статье следует, что если объединять несколько поверхностей разного типа, то односторонние поверхности без края получать можно и лист Мебиуса не является исключением.
Очевидно, что для получения на основе листа Мебиуса односторонней (неориентируемой) замкнутой поверхности в трехмерном пространстве проще всего воспользоваться объединением поверхности тора и собственно поверхности листа Мебиуса. Для этого необходимо лист Мебиуса поместить в тор. Таким образом, чтобы край листа Мебиуса полностью соединился с поверхностью тора. На Рис. 1 красным цветом показан лист Мебиуса, синим цветом показана поверхность тора. Затем часть поверхности тора срезать. Как это показано на Рис. 1.
В результате останутся два небольших края на поверхности тора, которые на Рис. 1 отмечены зелеными стрелками. Теперь остается только полученную из суммы поверхностей тора и листа Мебиуса поверхность деформировать, так, чтобы оставшиеся два края (на Рис. 1 отмечены зелеными стрелками) можно было соединить между собой.
Получившаяся в результате поверхность представлена на Рис. 2 в виде материальной модели. Для наглядности того, что полученная поверхность действительно является односторонней (неориентируемой) замкнутой поверхностью в трехмерном пространстве на Рис. 2 было анимировано движение шарика по этой поверхности.
На Рис. 2 видно, что шарик прокатывается по всей поверхности и при этом ни разу не пересекает ее края, так как края у этой поверхности просто нет. Еще на этом рисунке заметно, что поверхность тора деформирована (закручена на 180 градусов) – это потому, что поверхность тора в материальной модели повторяет закрученность листа Мебиуса.
Если в тор вместо листа Мебиуса поместить обычное кольцо, то дополнительное деформирование тора не потребуется. Но и полученная при этом поверхность уже не будет односторонней, так как, если часть поверхности тора не срезать (как это показано на Рис. 1), то кольцо поделит внутреннюю полость тора на две обособленные полости, а вот лист Мебиуса не сможет разделить внутреннюю полость тора на две полости. Именно потому, что при объединении тора и листа Мебиуса внутренняя полость тора остается единой и удается получить одностороннюю замкнутую поверхность в трехмерном пространстве.
В отношении, полученной поверхности, остается еще один очень интересный вопрос: Имеет или нет эта поверхность самопересечения?
Конечно, любой тополог сразу заявит, что в месте контакта тора и листа Мебиуса имеются самопересечения (особые точки). И, казалось бы, все очевидно, но вот если тополога попросить дать определение самопересечению, то ему придется использовать понятие точки. В свою очередь понятие точки не определено. А это означает, что чтобы он не говорил о самопересечении поверхности, используя понятие точки, в свою очередь, не сможет быть до конца определено. Ведь сказать, что собой будет представлять контакт между поверхностью тора и листа Мебиуса, в котором точки этих поверхностей лишь касаются друг друга без четкого представления, что собой представляет точка практически невозможно. Говоря иначе, ведь никто никого не обязывает утверждать, что полученная поверхность обязательно должна содержать точки общие, как для тора, так и для листа Мебиуса. И вот вопрос, о том имеет или нет самопересечения, полученная поверхность становится уже не столь очевидным. Получается, что все зависит от того, как рассматривать контакт между поверхностями. Т. е., самопересечение, как может быть, так может и не быть. Возникает парадокс.
О парадоксах в топологии можно прочитать в статье: "Неудобные вопросы и парадоксы современной топологии" ( http://stob2.narod.ru/33s.htm)
февраль 2012 года
